[논문 리뷰] Tensor renormalization group approach to critical phenomena via symmetry-twisted partition functions

Shinichiro Akiyama, Raghav G. Jha외 3명|arXiv (Cornell University)|2026. 01. 06.

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한 줄 요약

논문은 텐서 재규격화 그룹(TRG)을 사용하여 symmetry-twisted partition functions를 계산하고, Ising 및 O(2) 모델에서 자발적 대칭 파괴와 임계 현상을 탐지할 수 있도록 한다. 이에는 BKT 전이도 포함된다.

ABSTRACT

The locality of field theories strongly constrains the possible behaviors of symmetry-twisted partition functions, and thus they serve as order parameters to detect low-energy realizations of global symmetries, such as spontaneous symmetry breaking (SSB). We demonstrate that the tensor renormalization group (TRG) offers an efficient framework to compute the symmetry-twisted partition functions, which enables us to detect the symmetry-breaking transition and also to study associated critical phenomena. As concrete examples of SSB, we investigate the two-dimensional (2D) classical Ising model and the three-dimensional (3D) classical $O(2)$ nonlinear sigma model, and we identify their critical points solely from the twisted partition function. By employing the finite-size scaling argument, we find the critical temperature $T_c=2.2017(2)$ with the critical exponent $ν= 0.663(33)$ for the 3D $O(2)$ model. In addition, we also study the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) criticality of the 2D classical $O(2)$ model by extracting the helicity modulus from the twisted partition functions, and we obtain the BKT transition temperature, $T_{\mathrm{BKT}}=0.8928(2)$.

연구 동기 및 목표

• 대칭성-꼬임 분할 함수가 전역 대칭의 저에너지 구현을 어떻게 제약하고 드러내는지 조사한다.
• TRG가 SSB와 임계성을 탐지하기 위해 twist된 분할 함수를 효율적으로 계산할 수 있음을 보여준다.
• 대표 모델에서 twisted partition functions로 임계점과 보편성 데이터를 추출한다.
• twisted partitions로부터 도출된 helicity modulus를 통해 2D O(2) 모델의 BKT 전이를 연구한다.

제안 방법

• 분할 함수를 텐서 네트워크로 표현하되, on-site 전역 대칭을 대칭 차단(symmetry blocking)으로 강제한다.
• TRG 수축에서 twist 경계 조건을 적용해 Z_g0를 계산한다 (tTr_g0).
• 대칭 섹터별 블록 대각화로 twist된 기여와 twist되지 않은 기여를 분리한다 (Z_g0 대 Z1).
• Z_g0/Z1의 유한 크기 스케일링 분석을 수행해 T_c와 임계 지수를 추정한다(예: nu).
• O(2) 모델의 경우 twist로 유도된 응답을 helicity modulus와 연결해 BKT 물리를 탐구한다.

Figure 1: $Z_{-1}/Z_{1}$ in the 2D Ising model. The vertical dashed line indicates the exact critical point $T_{c}=2/(\log(1+\sqrt{2}))$ . The horizontal dashed line denotes the exact value of $Z_{-1}/Z_{1}$ for the 2D Ising CFT, which is given by Eq. ( IV.2 ). The computation is done by the BTRG wi

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭성-꼬임 partition functions가 이산 및 연속 대칭 케이스에서 SSB의 강건한 오더 파라미터로 기능할 수 있는가?
• RQ2 TRG가 Z_g0/Z1를 효율적으로 계산해 임계점을 찾고 보편적 데이터를 결정할 수 있는가?
• RQ3 임계점에서 Z_g0/Z1의 보편적 값은 CFT가 예측하는 값과 어느 정도 일치하며, TRG 결과와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 2D O(2) 모델에서 twisted partition functions가 helicity modulus를 어떻게 제공하고 BKT 전이를 탐지하는가?

주요 결과

• For 2D Ising, Z_{-1}/Z_{1} crosses converge at T_c and match the 2D Ising CFT prediction.
• In 3D O(2), the method identifies the critical temperature T_c = 2.2017(2) and the correlation-length exponent nu = 0.663(33).
• In 2D O(2), the helicity modulus extracted from twisted partitions captures the BKT transition temperature T_BKT = 0.8928(2).
• Twisted-partition-function ratios serve as clear order parameters for SSB, distinguishing symmetric and broken phases in large volumes.
• TRG with symmetry blocking enables sector-by-sector twists and maintains symmetry constraints during coarse-graining, enabling accurate universal data extraction.

Figure 2: $Z_{-1}/Z_{1}$ as a function of $\log_{2}L$ in the 2D Ising model, with the temperature deviation $\Delta T=1.0\times 10^{-6}$ from the critical point. The horizontal dashed line denotes the exact value of $Z_{-1}/Z_{1}$ for 2D Ising CFT. The computation is done by the BTRG with the bond d