[논문 리뷰] Tensor Valued Colombeau Functions on Manifolds

Michael Grosser|ArXiv.org|2008. 12. 17.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스무스 매니폴드 위의 텐서 값 일반화 함수를 위한 새로운 기본 공간 $\tilde{\boldsymbol{\mathcal{E}}}^{r}_{s}(M)$을 도입한다. 이는 스칼라 이론을 확장하여 운반 연산자에 대한 제3의 슬롯을 포함함으로써 이루어지며, 리 도함수와의 호환성과 분포 텐서 장의 ${\rm C}^\infty(M)$-선형성의 유지라는 두 가지 핵심 성질을 보장한다. 이는 텐서 설정에서 샤르스키 불가능성 결과를 해결한다.

ABSTRACT

Extending the construction of the (intrinsically defined) full algebra of scalar valued Colombeau functions on a smooth manifold M (Grosser et al., Adv. Math. 166 (2002), 179-206) we present a suitable basic space for eventually obtaining tensor valued generalized functions on M, via the usual quotient construction. This basic space canonically contains the tensor valued distributions and permits a natural extension of the classical Lie derivative. Its members are smooth functions depending - via a third slot - on so-called transport operators, in addition to slots one (smooth n-forms on M) and two (points of M) from the scalar case.

연구 동기 및 목표

• 스무스 매니폴드 위의 텐서 값 일반화 함수를 위한 스칼라 콜롬베아 대수 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}(M)$를 확장한다.
• 텐서 분포의 ${\rm C}^\infty(M)$-선형성의 임베딩을 유지하는 기본 공간을 구성함으로써 샤르스키 유형의 불가능성 결과를 극복한다.
• 고전적 리 도함수를 텐서 값 일반화 함수 설정으로 자연스럽게 확장한다.
• 일관된 당김 구조를 통해 미분형과 일반화 함수 대수 간의 호환성을 확보한다.
• 중간 및 무시 가능한 원소를 통해 전체 텐서 값 콜롬베아 대수 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$의 기초를 마련한다.

제안 방법

• 기본 공간 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$에 대해 삼중 슬롯 구조를 도입한다. 슬롯은 각각: (1) 컴actsupport된 $n$-형식 $\nu \to \nu$, (2) 점 $p \to p$, (3) 운반 연산자 $A \to A$이다.
• 공식 $(\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} u)(\nu, p, A) \bullet \tilde{t}(p) := \big\bra u, A^{r}_{s}(p, \bullet)(\tilde{t}(p)) \bullet \nu(\bullet) \big\bracket$ 을 통해 임베딩 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}: {{\rm D}'}^{r}_{s}(M) \to \tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ 를 정의한다.
• 미분형 $\nu: M \to N$ 에 대해 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} \big( \tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s} \big)^{-1}$ 를 구성하여 분포에 대한 $\nu^*$ 작용과의 호환성을 확보한다.
• 기본 공간 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ 위에서 일반화된 리 도함수 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}^{r}_{s}$ 를 정의하여 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}^{r}_{s} \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} = \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}$ 를 만족시키며, 분포 위에서의 리 도함수 작용을 유지한다.
• 스칼라 이론의 중간성 및 무시 가능성 개념을 삼중 슬롯 구조에 적응하여 $(\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s})_m(M)$ 과 $\tilde{\boldsymbol{\nu}}^{r}_{s}(M)$ 을 정의하고, 이로부터 몫 대수 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M) := (\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s})_m(M) / \tilde{\boldsymbol{\nu}}^{r}_{s}(M)$ 를 유도한다.
• 몫 대수에서 임베딩 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}$ 가 ${\rm C}^\infty(M)$-선형이 되도록 보장하여 좌표 기반 접근에서의 선형성 실패 문제를 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매니폴드 위의 스칼라 함수에 대한 콜롬베아 대수는 어떻게 텐서 값 일반화 함수로 일반화될 수 있으며, 필수 기하학적 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ2 운반 연산자를 포함하는 삼중 슬롯 구조는 좌표 기반 텐서 임베딩에서의 ${\rm C}^\infty(M)$-선형성 실패 문제를 해결할 수 있는가? 이는 샤르스키 불가능성 결과에 의해 암시된다.
• RQ3 고전적 리 도함수를 텐서 분포에서 일반화된 텐서 장 설정으로 자연스럽게 확장할 수 있는가?
• RQ4 분포 텐서 장의 임베딩과 호환되는, 미분형에 의한 일반화된 텐서 장의 적절한 당김 정의는 무엇인가?
• RQ5 중간 원소 모듈로 무시 가능한 원소의 몫 구성은 어떻게 텐서 값 설정에 적응시켜 일관된 대수적 구조를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• $n$-형식, 점, 운반 연산자에 대한 슬롯을 포함하는 제안된 기본 공간 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ 은 매니폴드 위의 텐서 값 일반화 함수에 대한 표준적인 프레임워크를 제공한다.
• 임베딩 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}: {{\rm D}'}^{r}_{s}(M) \to \tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ 는 명시적으로 정의되며, $f \to {\rm C}^\infty(M)$ 에 대해 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(f \bullet u) = \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(f) \bullet \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(u)$ 를 만족하므로 샤르스키 불가능성 결과가 해결된다.
• 일반화된 리 도함수 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}^{r}_{s}$ 는 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M)$ 위에서 잘 정의되어 있으며, $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}^{r}_{s} \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} = \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}_{X}$ 를 만족하여 고전적 리 도함수의 분포 위에서의 작용과 일관성을 유지한다.
• 미분형 $\nu: M \to N$ 에 의한 일반화된 텐서 장의 당김은 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s} \big( \nu^* u \big) = \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(u) \big( \nu^{-1} \big)$ 를 통해 일관되게 정의되며, 변환 법칙을 유지한다.
• 몫 대수 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s}(M) := (\tilde{\boldsymbol{\theta}}^{r}_{s})_m(M) / \tilde{\boldsymbol{\nu}}^{r}_{s}(M)$ 는 잘 정의되어 있으며, 기본 공간으로부터 미분형과 리 도함수의 기하학적 작용을 상속한다.
• 매끄러운 텐서 장의 임베딩 $f \to \boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(f)$ 는 $\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\theta}}}^{r}_{s}(f)(\nu, p, A) := f(p)$ 로 주어지며, 일반화된 함수 대수에서의 텐서 곱의 구조를 유지한다.