[논문 리뷰] Termination of lambda-calculus with the extra Call-By-Value rule known as assoc

Stéphane Lengrand|ArXiv.org|2008. 06. 30.

Mathematics, Computing, and Information Processing인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 라다나-칼큘러스에 assoc 규칙을 추가한 강한 정규화를 증명한다. 이는 중첩된 람다 추상화의 응용을 재작성하는 규칙이다. 표시된 레드엑스와 정교화된 감소 체계를 도입함으로써, author는 assoc과 beta 감소 간의 수반 관계를 확립하여, 이 추가 규칙이 있더라도 종료성을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper we prove that any lambda-term that is strongly normalising for beta-reduction is also strongly normalising for beta,assoc-reduction. assoc is a call-by-value rule that has been used in works by Moggi, Joachimsky, Espirito Santo and others. The result has often been justified with incomplete or incorrect proofs. Here we give one in full details.

연구 동기 및 목표

• 람다-칼큘러스에 assoc 규칙을 추가한 강한 정규화를 확립하기 위해.
• 표준 종료 증명을 차단하는 assoc 규칙과 beta 감소 간의 비수반성 문제를 해결하기 위해.
• 표시된 레드엑스 시스템을 도입하여, 제한된 형태의 beta 감소와 assoc을 수반할 수 있도록 하기 위해.
• 표시된 레드엑스 하에서 beta 감소를 제한하는 것이 종료 증명에서 일반성을 잃지 않는다는 것을 정당화하기 위해.
• 강한 시뮬레이션과 종료 논증을 지원하는 문맥적 폐쇄 및 감소 체계를 형식화하기 위해.

제안 방법

• 호출-값 평가를 모델링하기 위해 표시된 레드엑스를 사용하는 표기법 $(\overline{\lambda}x.M)\ N$ 을 도입한다.
• 표준 레드엑스와 표시된 레드엑스를 동일하게 다루는 정교화된 감소 체계 $\beta 12$ 를 정의한다.
• 두 가지 부분 감소를 도입한다: $\beta\kappa$ (표시된 인자를 기각하지 않는 감소) 및 $\beta\overline{\kappa}$ (기각하는 감소).
• 수반 논증을 지원하기 위해, 리 writing 체계를 위한 약한 문맥적 폐쇄 $\rightharpoonup_i$ 를 제안한다.
• 표시된 레드엑스 하에서 assoc 감소를 시뮬레이션하기 위해 $\overline{\textsf{assoc}}\textsf{act}$ 규칙을 사용하여 구조를 유지한다.
• 감소 수열에 대한 귀납법과 케이스 분석을 사용하여, $\overline{\textsf{assoc}}\textsf{act}$-감소가 $\hookrightarrow$-감소에 대해 연기될 수 있음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 assoc 규칙을 람다-칼큘러스에 추가해도 강한 정규화가 유지되는가?
• RQ2 assoc과 beta 감소를 조합할 때 표준 수반 기법이 실패하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 표시된 레드엑스 하에서 beta 감소를 제한해도 종료 증명에서 일반성이 손실되지 않는가?
• RQ4 표시된 레드엑스 시스템을 어떻게 사용하여 종료성을 유지하면서도 호출-값 평가 행동을 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ5 $\overline{\textsf{assoc}}\textsf{act}$ 규칙을 사용하여 assoc 감소를 강한 정규화를 지원하는 방식으로 시뮬레이션할 수 있는가?

주요 결과

• assoc 규칙은 람다-칼큘러스에서 종료되며, 각 응용에서 비중첩된 $\lambda$-페어의 수가 감소하기 때문이다.
• 표시된 레드엑스를 사용하면, 제한된 $\beta$-감소 $\hookrightarrow$ 와의 관계에서 $\stackrel{{\scriptstyle}}{{\longrightarrow}}_{\textsf{assoc}}\;$ 감소를 연기할 수 있다.
• $\beta 12$ 감소 체계는 忘却 사영 $\phi$ 를 통해 표준 $\beta$-감소를 강하게 시뮬레이션한다.
• $\overline{\textsf{assoc}}\textsf{act}$ 규칙은 표시된 레드엑스 하에서 감소의 구조를 유지하여 귀납적 증명을 가능하게 한다.
• $\hookrightarrow$-감소 체계는 $\beta 12$-감소를 강하게 시뮬레이션할 수 있어 종료 논증에서 일반성 손실이 없다.
• 주요 결과인 $\textsf{SN}^{\beta} \subseteq \textsf{SN}^{\textsf{assoc}\beta}$ 는 $\stackrel{{\scriptstyle}}{{\longrightarrow}}_{\textsf{assoc}}\;$ 가 $\hookrightarrow$ 에 대해 연기될 수 있음을 증명함으로써, 확장된 체계의 강한 정규화를 확립한다.