[논문 리뷰] Ternary quasigroups in knot theory

Maciej Niebrzydowski|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 17.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고전적 링크와 표면 링크에 대한 대수적 불변량으로 삼항 준군을 도입하며, 그 호몰로지로부터 코ycle 불변량을 정의하여 리드마이스터 이동에 대해 변화하지 않는 성질을 갖는다. 첫 번째 및 두 번째 리드마이스터 이동에 대응하는 열악한 부분복합체를 구성하고 정규화된 호몰로지를 정의하여, 코호몰로지에서의 코클로스를 통해 상태합 불변량을 수립함으로써, 링크의 불변량을 표면 위의 링크와 평평한 링크로 확장하고 요시카와 이동에 대한 불변성을 확보한다.

ABSTRACT

We show that some ternary quasigroups appear naturally as invariants of classical links and links on surfaces. We also note how to obtain from them invariants of Yoshikawa moves. In our previous paper, we defined homology theory for algebras satisfying two axioms derived from the third Reidemeister move. In this paper, we show a degenerate subcomplex suitable for ternary quasigroups satisfying these axioms, and corresponding to the first Reidemeister move. For such ternary quasigroups with an additional condition that the primary operation equals to the second division operation, we also define another subcomplex, corresponding to the second flat Reidemeister move. Based on the normalized homology, we define cocycle invariants.

연구 동기 및 목표

• 고전적 링크와 표면 링크에 대해 삼항 준군을 불변량으로 설정하기.
• 리드마이스터 이동에 대해 불변인 삼항 준군에 대한 호몰로지 이론 정의하기.
• 첫 번째 및 두 번째 리드마이스터 이동에 대응하는 열악한 부분복합체 구성하기.
• 평평한 링크와 고전적 링크에 대해 정규화된 호몰로지 및 코클로스 불변량 정의하기.
• 표면 링크 다이어그램에 대해 요시카와 이동에 대해 불변인 이러한 불변량을 확장하기.

제안 방법

• 방향이 부여된 표면 위의 링크 다이어그램에서 교차점 주변의 영역에 삼항 준군의 연산 T, L, M, R을 사용하여 대수적 값을 할당하기.
• 교차점에 할당된 삼중체 (a,b,c)를 사용한 체인 복합체를 구성하고, 미분 ∂(a,b,c) = (b,c) - (a,abcT) - (abcT,c) + (a,b)를 정의하기.
• 첫 번째 리드마이스터 이동에 대응하는 열악한 부분복합체를 (a,b,abbR) 또는 (bbaL,b,a) 형태의 사이클을 사용해 정의하기.
• 평평한 리드마이스터 이동에 대해 불변성을 확보하기 위해 정규화된 호몰로지 H^NID(X) 및 H^NI(X)를 도입하기.
• 상태합을 통한 코클로스 불변량 정의: Φ(D) = Σ_C ∏_τ B(τ,C), 여기서 B(τ,C)는 각 교차점에서의 부호가 있는 색상 삼중체에 대한 코클로스 값이다.
• 아벨 군 A 값을 갖는 C1(X)의 코homology를 사용하여 특정 리드마이스터 이동 가족에 대해 불변성을 확보하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼항 준군을 사용하여 컴acts된 방향이 있는 표면 위의 링크에 대해 어떤 식으로 불변량을 정의할 수 있는가?
• RQ2 첫 번째 및 두 번째 리드마이스터 이동에 대해 불변성을 보장하는 호몰로지 조건은 무엇인가?
• RQ3 첫 번째 및 두 번째 리드마이스터 이동에 대응하는 열악한 부분복합체는 호몰로지 불변성에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 정규화된 호몰로지가 평평한 리드마이스터 이동에 대한 불변량 수립에서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 삼항 준군 코homology를 사용하여 코클로스 불변량을 어떻게 정의하고 요시카와 이동에 대해 불변성을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• KTQ 색칠이 부여된 방향이 있는 링크 다이어그램과 관련된 체인 복합체는 KTQ 호몰로지에서 사이클이 되며, 이는 ∂(c_D) = 0 임을 보장한다.
• H^NID(X)를 사용할 경우 평평한 링크 다이어그램의 IKTQ 호몰로지 클래스는 모든 평평한 리드마이스터 이동에 대해 불변이며, H^NI(X)를 사용할 경우 두 번째 및 세 번째 이동에 대해 불변이다.
• 고전적 링크의 경우 H^N(X)를 사용할 경우 KTQ 호몰로지 클래스는 모든 리드마이스터 이동에 대해 불변이며, 반대 부호의 교차점 상호 간 상쇄로 인해 두 번째 이동에 대해서도 불변이다.
• 상태합을 통해 정의된 코클로스 불변량은 사용된 코homology에 따라 해당 리드마이스터 또는 평평한 리드마이스터 이동 가족에 대해 불변이다.
• 평평한 링크에 대해 T = M을 사용할 경우 추가적인 대칭성이 발생하며, 이는 axcT 가 인보리션임을 보여주고, cabL = acbL, bcaR = bacR 를 만족한다.
• 세 번째 평평한 리드마이스터 이동은 호몰로지 클래스를 유지한다. 그 이유는 기여도 차이가 경계이기 때문이다: ∂2(a,b,c,d) = (b,c,d) - (a,abcT,(abcT)cdT) - (abcT,c,d) + (a,b,bcdT) + (ab(bcdT)T,bcdT,d) - (a,b,c).