[논문 리뷰] Testing for change-points in long-range dependent time series by means of a self-normalized Wilcoxon test

Annika Betken|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 02.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 10인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 장기적 의존성 시간열의 평균에서 변화점 검출을 위한 자기정규화 윌콕슨 검정을 제안한다. 알려지지 않은 정규화를 데이터 기반 척도 추정치로 대체함으로써, 귀무가설(비퇴화 극한으로 수렴)과 국소 대립가설(무한대 방향으로 발산) 모두에서 渐近적 타당성을 확보하여, 중간 크기의 표본에서도 일致성과 정확한 크기 제어를 보장한다.

ABSTRACT

We propose a testing procedure based on the Wilcoxon two-sample test statistic in order to test for change-points in the mean of long-range dependent data. We show that the corresponding self-normalized test statistic converges in distribution to a non-degenerate limit under the hypothesis that no change occurred and that it diverges to infinity under the alternative of a change-point with constant height. Furthermore, we derive the asymptotic distribution of the self-normalized Wilcoxon test statistic under local alternatives, that is under the assumption that the height of the level shift decreases as the sample size increases. Regarding the finite sample performance, simulation results confirm that the self-normalized Wilcoxon test yields a consistent discrimination between hypothesis and alternative and that its empirical size is already close to the significance level for moderate sample sizes.

연구 동기 및 목표

• 장기적 의존성 자료에 대한 비모수적 변화점 검정에서 알려지지 않은 정규화 문제를 해결하기 위해.
• 모르는 척도 상수에 의존하지 않는 윌콕슨 이표본 검정의 자기정규화된 형태를 개발하기 위해.
• 귀무가설과 국소 대립가설 하에서 자기정규화 윌콕슨 검정의 渐近적 이론을 수립하기 위해.
• 특히 장기적 의존성 하에서 유한 표본에서도 올바른 경험적 크기와 높은 검정력을 유지하기 위해.
• 장기 기억 의존성을 보이는 시간열에서 수준 이격을 탐지하기 위한 강건하고 분포 자유인 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 관측치의 경험적 분포를 기반으로 한 데이터 기반 척도 추정치로 알려지지 않은 정규화 인자 $ d_n $ 를 대체하여 자기정규화 검정 통계량을 제안한다.
• 첫 $ k $ 개와 나머지 $ n-k $ 개 관측치 간의 윌콕슨 순위 합 $ W_{k,n} $ 를 고려함으로써 윌콕슨 이표본 순위 검정을 변화점 설정에 적응시킨다.
• 장기적 의존성 하에서 검정 통계량의 점근적 행동을 기술하기 위해 지표 함수 $ 1\{G(\xi_i) \leq x\} $ 의 에르미트 전개를 사용한다.
• 연속성 맵핑 정리(continuous mapping theorem)를 적용하여 귀무가설과 국소 대립가설 하에서 자기정규화 검정 통계량의 약한 수렴을 도출한다.
• 자기유사성 파라미터 $ H = 1 - mD/2 $ 를 가진 순서 $ m $ 의 에르미트 과정을 포함하는 약한 수렴 추론과 기능 중심극한정리(functional central limit theorems)를 활용한다.
• 국소 대립가설 하에서 분자의 발산과 분모의 확률적 수렴을 통해 검정 통계량의 발산을 보여줌으로써 일致성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알려지지 않은 정규화 상수 하에서 장기적 의존성 하에서 자기정규화 윌콕슨 검정이 점근적으로 타당성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 장기적 의존성 하에서 자기정규화 윌콕슨 검정이 유한 표본에서 올바른 경험적 크기와 비영적 검정력을 확보하는가?
• RQ3 수축하는 수준 이격을 가진 국소 대립가설 하에서 자기정규화 윌콕슨 검정의 점근적 분포는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 변화점이 없는 귀무가설 하에서 자기정규화 통계량의 점근적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 자기정규화 접근법이 장기적 의존성 파라미터 $ D $ 와 에르미트 순서 $ m $ 의 사전 지식이 없이도 필요 없게 할 수 있는가?

주요 결과

• 변화점이 없는 귀무가설 하에서, 자기정규화 윌콕슨 검정 통계량은 순서 $ m $ 의 에르미트 과정과 오차 과정의 분포에 따라 의존하는 비퇴화 극한으로 수렴한다.
• 수준 이격 $ h_n \sim c d_n / n $ 를 가진 국소 대립가설 하에서, 검정 통계량은 확률적으로 무한대로 발산하여 검정의 일치성을 입증한다.
• 자기정규화 윌콕슨 검정의 경험적 크기는 중간 크기의 표본에서도 이미 명목상의 유의수준에 매우 가까워져, 우수한 유한표본 성능을 보인다.
• 국소 대립가설 하에서의 점근적 분포는 에르미트 과정과 수준 이격 높이 및 오차 분포의 밀도에 비례하는 드리프트 항을 포함하는 비퇴화 극한으로 수렴한다.
• 대립가설 하에서 자기정규화 통계량의 분모는 확률적으로 0으로 수렴하고, 분자는 0이 아닌 상수로 수렴하므로 검정 통계량의 발산이 보장된다.
• 검정은 알려지지 않은 장기적 의존성 파라미터에 대해 강건하며, 에르미트 순서 $ m $ 의 사전 지식이 필요 없이 자기정규화가 데이터 기반 스케일링에 적응한다.