[논문 리뷰] TESTING FOR RESIDUAL CORRELATION OF ANY ORDER IN THE AUTOREGRESSIVE PROCESS

Frédéric Proïa|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 08.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 40인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자기회귀 모형에서 잔차 상관관계의 임의의 차수에 대한 새로운 통계적 검정을 제안하며, 구동 노이즈가 자기상관이 있을 경우 최소제곱 추정량의 부일관성 문제를 다룹니다. 주된 자기회귀 추정량과 노이즈의 순차 상관관계를 추정하는 새로운 추정량에 대해 거의 확실 수렴성과 점근적 정규성을 확립하며, Ljung-Box, Box-Pierce 및 Breusch-Godfrey 검정보다 우월합니다. 특히 소표본에서 뛰어난 성능을 보입니다.

ABSTRACT

We are interested in the implications of a linearly autocorrelated driven noise on the asymptotic behavior of the usual least squares estimator in a stable autoregressive process. We show that the least squares estimator is not consistent and we suggest a sharp analysis of its almost sure limiting value as well as its asymptotic normality. We also establish the almost sure convergence and the asymptotic normality of the estimated serial correlation parameter of the driven noise. Then, we derive a statistical procedure enabling to test for correlation of any order in the residuals of an autoregressive modelling, giving clearly better results than the commonly used portmanteau tests of Ljung-Box and Box-Pierce, and appearing to outperform the Breusch-Godfrey procedure on small-sized samples.

연구 동기 및 목표

• 구동 노이즈가 자기상관이 있을 경우 안정적인 자기회귀 과정에서 최소제곱 추정량의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 일반적인 자기회귀 노이즈 구조 하에서 최소제곱 추정량의 거의 확실 수렴성과 점근적 정규성을 확립하는 것.
• 구동 노이즈의 순차 상관관계 파라미터를 위한 새로운 추정량을 제안하고 그 점근적 성질을 도출하는 것.
• 기존 절차보다 우월한, 임의의 차수의 잔차 상관관계를 검정할 수 있는 통계적 검정을 개발하는 것. 특히 소표본에서의 성능 향상에 중점을 둡니다.
• 마르팅글 방법을 사용하여 엄밀한 이론적 기반을 마련하고, 자기회귀 모형에서 편향과 수렴에 관한 이전 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 관측된 과정을 차수 $p$의 안정적인 자기회귀 과정으로 모델링하며, 구동 노이즈는 차수 $q$의 인과적 자기회귀 과정을 따른다.
• 주된 자기회귀 파라미터 $\theta$와 노이즈 상관관계 파라미터 $\rho$에 대해 최소제곱 추정 프레임워크를 사용한다.
• 스펙트럴 노름과 이차변동 분석에 기반하여, 마르팅글 방법을 적용하여 추정량의 거의 확실 수렴성과 점근적 정규성을 도출한다.
• 벡터 마르팅글에 대한 중심극한정리에 기반하여 잔차 자기상관에 기반한 검정통계량의 점근적 분포를 유도한다.
• Durbin-Watson 접근법에 영감을 받은 검정통계량을 구축하지만, 임의의 차수의 일반적인 잔차 상관관계를 다룰 수 있도록 적응시켰다.
• 잔차 상관관계가 없는 귀무가설 하에서 검정통계량의 점근적 분포를 유도하며, Slutsky의 보조정리와 Lindeberg 조건을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기회귀 모형에서 구동 노이즈가 자기상관이 있을 경우 최소제곱 추정량의 점근적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 자기상관이 있는 노이즈의 존재가 자기회귀 모형에서 최소제곱 추정량의 일관성과 점근적 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 일반 조건 하에서 노이즈의 순차 상관관계 파라미터를 위한 새로운 추정량이 일관성 있고 점근적으로 정규분포를 따를 수 있는가?
• RQ4 제안된 잔차 상관관계 검정은 Ljung-Box, Box-Pierce 및 Breusch-Godfrey 절차와 비교해 소표본에서 어떻게 성능이 뛰어나게 되는가?
• RQ5 잔차 상관관계가 없는 귀무가설 하에서 제안된 검정통계량의 점근적 분포는 무엇인가?

주요 결과

• 구동 노이즈가 자기상관이 있을 경우 주된 자기회귀 파라미터 $\theta$의 최소제곱 추정량은 일관성이 없지만, 비퇴화적인 극한으로 거의 확실히 수렴한다.
• 최소제곱 추정량 $\theta$의 점근적 분포는 스펙트럴 노름과 설계행렬의 고유값을 포함하는 잘 정의된 공분산 행렬을 가진 정규분포이다.
• 노이즈의 순차 상관관계 파라미터를 위한 제안된 추정량 $\widehat{\rho}_n$은 귀무가설 하에서 거의 확실히 일관적이며 점근적으로 정규분포를 따른다.
• 추정량 $\widehat{\rho}_n$에 기반한 검정통계량은 점근적으로 정규분포를 따르며, 소표본에서 Ljung-Box, Box-Pierce 및 Breusch-Godfrey 절차보다 뛰어난 성능을 보인다.
• 검정통계량의 점근적 분포는 $\mathcal{N}(0, \Gamma_Z)$로 유도되며, 여기서 $\Gamma_Z = \sigma^4 I_q - \sigma^2 \Upsilon_{pq} \Delta_p^{-1} \Upsilon_{pq}^\prime$ 이다. 이는 타당한 추론을 보장한다.
• 시뮬레이션 결과는 제안된 검정이 기존 대안들보다 더 높은 경험적 검정력(empirical power)을 보임을 확인하며, 특히 소표본에서 두드러진 성능 향상을 보였다.