[논문 리뷰] Testing for the Equality of two Distributions on High Dimensional Object Spaces

Ruite Guo, Vic Patrangenaru|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 22.

Morphological variations and asymmetry참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 케네들 샤프 스페이스와 같은 고차원 물체 분포(예: 형태)를 비교하기 위해 유클리드 공간으로의 VW-임bedding을 사용하는 외재적 에너지 거리 검정을 제안한다. 이 방법은 에너지 통계를 적용하여 두 분포 간의 동질성 여부를 검정하며, 주의력 결핍 과잉행동장애(ADHD)와 정상 집단 간의 CC 중단면 형태의 평균은 유의미하게 다를 수 있으나, 기저 분포는 통계적으로 구별되지 않음을 보여주어 고차원성의 영향을 부각시킨다.

ABSTRACT

Energy statistics are estimators of the energy distance that depend on the distances between observations. The idea behind energy statistics is to consider a statistical potential energy that would parallel Newton's gravitational potential energy. This statistical potential energy is zero if and only if a certain null hypothesis relating two distributions holds true. In Szekely and Rizzo(2004), a nonparametric test for equality of two multivariate distributions was given, based on the Euclidean distance between observations. This test was shown to be effective for high dimensional multivariate data, and was implemented by an appropriate distribution free permutation test. As an extension of Szekely and Rizzo (2013), here we consider the energy distance between to independent random objects X and Y on the object space M, that admits an embedding into an Euclidean space. In the case of a Kendall shape space, we can use its VW-embedding into an Euclidean space of matrices and define the extrinsic distance between two shapes as their VW associated distance. The corresponding energy distance between two distributions of Kendall shapes of k-ads will be called VW-energy distance We test our methodology on, to compare the distributions of Kendall shape of the contour of the midsagittal section of the Corpus Callossum in normal vs ADHD diagnosed individuals. Here we use the VW distance between the shapes of two children CC midsections. Using the CC data coming originally from http://fcon 1000.projects.nitrc.org/indi/adhd200/ it appears that the two Kendall shape distributions are not significantly different.

연구 동기 및 목표

• 고차원 물체 공간(예: 형태 다양체)에서 두 확률 분포의 동질성에 대한 비모수적 검정을 개발하는 것.
• 케네들 형태 공간과 같은 고차원 비유클리드 물체 공간에서 분포 동일성 검정의 과제를 다루는 것.
• 특히 의료 영상 적용 분야에서 형태 분석의 통계적 추론에 고차원성이 미치는 영향을 조사하는 것.
• 시뮬레이션 데이터(케네들 k-ad 형태)와 실제 의료 영상 데이터(뇌총합 중단면)를 사용하여 제안된 검정을 검증하는 것.

제안 방법

• 에너지 통계를 고안한 바에 따라, 힐베르트 공간의 복소 행렬로의 VW-임베딩을 통해 외재적 임베딩을 통해 물체 공간에 적용한다.
• 두 표본의 관측치 간의 쌍별 거리 함수를 사용하여 유클리드 노름을 적용한 임베딩 공간에서의 외재적 에너지 거리를 정의한다.
• 표본 에너지 통계 $ \tilde{\rho}_{n_1,n_2} $ 를 사용하여 $ T_{n_1,n_2} = \frac{n_1n_2}{n} \tilde{\rho}_{n_1,n_2} $ 를 계산하고, $ H_0: Q_1 = Q_2 $ 대비 $ H_1: Q_1 \neq Q_2 $ 를 검정한다.
• 유의성 검정을 위해 순열 기반 방법을 사용하여 임계값을 결정함으로써 귀무가설 하에서 타입 I 오류를 정확히 제어한다.
• 고차원 제약 조건 하에서 점근적 귀무분포가 존재하지 않는 상황에서, 부트스트랩 리샘플링을 사용하여 검정 통계량의 임계값을 추정한다.
• 50개의 의사-농락점(landmark)을 사용하여 ADHD-200 데이터셋의 실제 CC 중단면 데이터와 시뮬레이션된 k-ad 형태 데이터를 모두 활용해 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 통계는 케네들 형태 다양체와 같은 고차원 물체 공간에서 분포 동일성 검정에 확장될 수 있는가?
• RQ2 고차원성이 형태 분포의 차이 탐지에 어떻게 영향을 미치는가? 특히 평균이 유의미하게 다를 경우에 대해 어떻게 되는가?
• RQ3 임상적으로 정상인 사람과 ADHD 진단을 받은 사람 간의 뇌총합 중단면 형태 분포 사이에 통계적으로 유의미한 차이가 있는가?
• RQ4 ADHD 진단에서의 잘못된 양성 결과가 형태 기반 의료 분석에서 분포 검정의 검정력에 어느 정도 영향을 미치는가?

주요 결과

• CC 중단면 데이터에 대한 VW-t-에너지 검정 통계량은 $ T_{j,n_1,n_2} = 0.0948 $ 이며, 부트스트랩 임계값은 $ c^*_{0.05} = 0.1075 $ 와 $ c^*_{0.1} = 0.0958 $ 로, 5% 수준에서 유의미한 차이가 없음을 나타낸다.
• 매우 유의미한 차이가 있는 VW 평균 형태(유의수준 ~$10^{-11}$)가 존재하지만, 제안된 검정에 따르면 CC 중단면 형태의 전체 분포는 통계적으로 구별되지 않는다.
• 평균의 차이가 있음에도 불구하고 분포 간 유의미한 차이가 없는 것은 Bai와 Saranadasa(1996)가 기술한 고차원성 효과로 기인한다. 이는 고차원성이 평균 검정 통계량을 증폭시키지만, 전체 분포 동일성 검정에는 영향을 주지 않는다는 것이다.
• 결과적으로 관측된 평균 차이는 진정한 생물학적 차이보다는 고차원 잡음에 의해 유도된 것으로 보이며, 이는 잘못된 ADHD 진단에 대한 우려를 제기한다.
• 시뮬레이션 연구는 k-ad 형태 데이터에서 분포 차이를 탐지하는 데 있어 방법의 타당성을 확인하였으며, 알려진 대안 하에서 검정의 일致성과 검정력을 입증한다.
• 이 방법은 분포 동일성과 평균 동일성 간의 구분을 성공적으로 수행하여, 고차원 형태 분석에서 더 세밀한 추론 도구를 제공한다.