[논문 리뷰] Testing for white noise under unknown dependence and its applications to goodness-of-fit for time series models

Xiaofeng Shao|ArXiv.org|2009. 06. 29.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 46인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 알려지지 않은 약한 의존성 하에서 박스-피어스 포트마뇌토 통계량의 渐近적 근본 분포를 확립하며, 샘플 크기와 함께 적절히 증가하는 지연 절단 수가 증가할 경우 그 유효성이 유지됨을 보여준다. 이 결과는 비정규성, 이종분산성 또는 조건부 이종분산성을 갖는 오차를 가진 ARMA 및 FARIMA 모형에 대한 견고한 진단 검사에 기여한다.

ABSTRACT

Testing for white noise has been well studied in the literature of econometrics and statistics. For most of the proposed test statistics, such as the well-known Box-Pierce's test statistic with fixed lag truncation number, the asymptotic null distributions are obtained under independent and identically distributed assumptions and may not be valid for the dependent white noise. Due to recent popularity of conditional heteroscedastic models (e.g., GARCH models), which imply nonlinear dependence with zero autocorrelation, there is a need to understand the asymptotic properties of the existing test statistics under unknown dependence. In this paper, we showed that the asymptotic null distribution of Box-Pierce's test statistic with general weights still holds under unknown weak dependence so long as the lag truncation number grows at an appropriate rate with increasing sample size. Further applications to diagnostic checking of the ARMA and FARIMA models with dependent white noise errors are also addressed. Our results go beyond earlier ones by allowing non-Gaussian and conditional heteroscedastic errors in the ARMA and FARIMA models and provide theoretical support for some empirical findings reported in the literature.

연구 동기 및 목표

• 잔차가 알려지지 않은 약한 의존성을 보일 경우 표준 백색 잡음 검정의 이론적 타당성이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• i.i.d. 가정을 초월하여 약한 의존성 과정을 포함하는 박스-피어스 검정의 渐近적 근본 분포를 확장하기 위해.
• 비정규성 및 조건부 이종분산성을 갖는 오차를 가진 ARMA 및 FARIMA 모형의 진단 검사에 대한 이론적 근거를 제공하기 위해.
• 오차 과정이 비상관이지만 의존적일 경우에도 포트마뇌토 검정이 여전히 渐近적으로 유효함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 혼합 조건과 모멘트 제약 조건을 사용하여 일반적인 약한 의존성 하에서 박스-피어스 검정 통계량의 渐近적 분포를 유도한다.
• 핵심 가중치를 갖는 자기상관 함수를 사용한 홍(1996)의 스펙트럼 밀도 기반 검정의 일반화를 적용한다.
• 약한 의존성 하에서 고차 모멘트를 제어하기 위해 마팅게일 차수 및 누적량 기반 전개를 사용한다.
• 매개변수 추정 불확실성을 다루기 위해 균일한 믹싱일레 표현과 모멘트 경계를 활용한다.
• 근본 가설 하에서 검정 통계량의 渐近적 정규성을 확립하며, 대역폭에 의존하는 항으로 분산을 보정한다.
• 균일한 적분 가능성 논증과 스코어 함수의 모멘트 경계를 사용하여 확률 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간적 시리즈가 비상관이지만 약한 의존성을 갖는 경우, 박스-피어스 검정 통계량의 渐近적 근본 분포는 여전히 유효한가?
• RQ2 비정규성 또는 조건부 이종분산성을 갖는 오차를 가진 ARMA 및 FARIMA 모형에 대해 포트마뇌토 검정을 신뢰성 있게 적용할 수 있는가?
• RQ3 알려지지 않은 의존성 하에서 검정의 渐近적 유효성을 확보하기 위해 지연 절단 수의 증가 속도는 어느 정도여야 하는가?
• RQ4 고차 누적량과 약한 의존성은 검정 통계량의 극한 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 잔차가 의존적이지만 비상관일 경우, 표준 카이제곱 근사가 여전히 진단 검사에 유효한가?

주요 결과

• 지연 절단 수가 샘플 크기와 함께 적절한 비율로 증가할 경우, 일반적인 가중치를 갖는 박스-피어스 검정 통계량의 渐近적 근본 분포는 알려지지 않은 약한 의존성 하에서도 유효하다.
• 오차가 비정규성 또는 조건부 이종분산성을 갖더라도, 적절한 표준화 후 $ nQ_n $ 통계량은 분포 수렴을 통해 정규분포로 수렴한다.
• 검정의 극한 분포는 알려지지 않은 약한 의존성에 대해 견고하며, 이는 이전 연구에서 i.i.d. 또는 정규 오차를 요구했던 결과를 확장한다.
• 검정 통계량의 渐近적 분산은 오차의 의존성 구조를 반영하기 위해 대역폭에 의존하는 항 $ D_n(K) $ 로 보정된다.
• 이 결과는 의존성 있는 잔차가 존재함에도 불구하고 포트마뇌토 검정이 실무에서 잘 작동한다는 경험적 결과에 대한 이론적 근거를 제공한다.
• 이 방법은 ARMA 및 FARIMA 모형 모두에 적용 가능하여 일반적인 오차 과정 하에서도 견고한 진단 검사를 가능하게 한다.