[논문 리뷰] Testing Polynomials for Vanishing on Cartesian Products of Planar Point Sets: Collinearity Testing and Related Problems

Boris Aronov, Esther Ezra외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 21.

Polynomial and algebraic computation인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다항식 부호 테스트를 사용한 대수적 결정 트리 모델에서, 세 평면 점 집합이 다항식 방정식을 만족하는 삼중조합을 포함하는지 테스트하기 위한 아랫값 알고리즘을 제시한다. 두 집합이 곡선 위에 있고 나머지 하나가 임의인 경우의 공선성 문제에 대해, O(n^{28/15+ε})개의 부호 테스트를 달성하여, 제한된 구성 조건 하에서 3SUM-어려운 문제에 있어 돌풍과 같은 성과를 이룬다.

ABSTRACT

We present subquadratic algorithms, in the algebraic decision-tree model of computation, for detecting whether there exists a triple of points, belonging to three respective sets $A$, $B$, and $C$ of points in the plane, that satisfy a certain polynomial equation or two equations. The best known instance of such a problem is testing for the existence of a collinear triple of points in $A imes B imes C$, a classical 3SUM-hard problem that has so far defied any attempt to obtain a subquadratic solution, whether in the (uniform) real RAM model, or in the algebraic decision-tree model. While we are still unable to solve this problem, in full generality, in subquadratic time, we obtain such a solution, in the algebraic decision-tree model, that uses only roughly $O(n^{28/15})$ constant-degree polynomial sign tests, for the special case where two of the sets lie on two respective one-dimensional curves and the third is placed arbitrarily in the plane. Our technique is fairly general, and applies to many other problems where we seek a triple that satisfies a single polynomial equation, e.g., determining whether $A imes B imes C$ contains a triple spanning a unit-area triangle. This result extends recent work by Barba \etal~(2017) and by Chan (2018), where all three sets $A$,~$B$, and~$C$ are assumed to be one-dimensional. As a second application of our technique, we again have three $n$-point sets $A$, $B$, and $C$ in the plane, and we want to determine whether there exists a triple $(a,b,c) \in A imes B imes C$ that simultaneously satisfies two independent real polynomial equations. For example, this is the setup when testing for collinearity in the complex plane, when each of the sets $A$, $B$, $C$ lies on some constant-degree algebraic curve. We show that problems of this kind can be solved with roughly $O(n^{24/13})$ constant-degree polynomial sign tests.

연구 동기 및 목표

• 평면에서의 아랫값 공선성 테스트 문제를 해결하는 데 오랫동안 미해결된 열린 문제를 해결한다. 이는 3SUM-어려운 문제이다.
• 이전의 카르테시안 곱에서 다항식이 0이 되는 현상에 대한 연구를 확장하여, 두 집합이 일차원 곡선 위에 있을 경우의 경우로 확장한다.
• 대수적 결정 트리 모델에서 하나 또는 두 개의 다항식 방정식을 만족하는 삼중조합을 탐지하기 위한 효율적인 알고리즘을 개발한다.
• 높은 차원의 구성 구조를 평면 사례로 단순화하기 위한 랜덤화된 감소 기법을 제공한다.
• 기하적 제약 조건 하에서 단일 및 이중 다항식 0이 되는 문제에 대해 향상된 경계를 달성한다.

제안 방법

• 점 집합의 공선성과 분리성을 유지하면서 차원을 d에서 2로 감소시키기 위해 랜덤 초평면에 대한 랜덤 투영을 사용한다.
• 레마 6.1을 통한 재귀적 감소를 적용하여, d×(d−1)×(d−1) 구성 구조를 2×1×1 평면 사례로 감소시킨다.
• 각 테스트가 입력 좌표에서의 일정 차수 다항식의 부호를 확인하는 대수적 결정 트리 모델을 활용한다.
• 두 개의 독립적인 다항식 제약 조건은 단일 제약 조건보다 더 효율적인 해결을 가능하게 한다는 사실을 활용한다.
• 인cidense 기하학과 다항식 분할 기법의 결과를 적용하여 필요한 부호 테스트 수를 근사한다.
• 일반적인 랜덤 초평면을 사용하여 투영이 공선성을 유지하고 집합을 확률 1로 분리함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3SUM-어려운 공선성 테스트 문제는 대수적 결정 트리 모델에서 아랫값 시간 내에 해결될 수 있는가?
• RQ2 단일 다항식 방정식을 만족하는 삼중조합을 탐지하기 위해 필요한 최소한의 일정 차수 다항식 부호 테스트 수는 얼마인가?
• RQ3 두 개의 독립적인 다항식 제약 조건이 존재할 경우, 0이 되는 삼중조합 탐지의 복잡도는 어떻게 영향을 받는가?
• RQ4 기하적 제약 조건—특히 두 집합이 곡선 위에 있을 경우—는 일반적으로 어려운 문제에 대해 아랫값 알고리즘을 가능하게 하는가?
• RQ5 높은 차원의 점 구성 구조는 문제의 구조를 유지하면서 얼마나 평면 사례로 감소될 수 있는가?

주요 결과

• 세 점 집합 중 두 개가 일정 차수의 대수적 곡선 위에 있고 나머지 하나가 임의일 경우, 논문은 대수적 결정 트리 모델에서 O(n^{28/15+ε})개의 부호 테스트를 달성한다.
• 이것은 일반적으로 3SUM-어려운 문제임에도 불구하고, 이러한 기하적 제약 조건 하에서 공선성 테스트 문제에 대해 처음으로 아랫값 해법을 제공한다.
• 두 개의 독립적인 다항식 방정식이 존재하는 문제에 대해 논문은 O(n^{24/13+ε})개의 부호 테스트 경계를 달성하여, 이중 제약 조건이 더 효율적인 해결을 가능하게 한다는 것을 보여준다.
• 랜덤 투영을 통한 감소 기법은 공선성을 유지하고 집합을 확률 1로 분리하므로, 평면 사례로의 재귀적 단순화를 가능하게 한다.
• 이전의 Barba 등과 Chan의 연구를 확장하여, 세 집합 모두 일차원이어야 했던 조건을 하나의 임의 집합을 允許함으로써 더 넓은 적용 가능성을 제공한다.
• 차원 d에 따라 경계가 악화되지만, 모든 고정된 d에 대해 여전히 아랫값이 유지되므로 향후 고차원 확장에 대한 잠재력이 있다.