[논문 리뷰] Testing spherical transitivity in iterated wreath products of cyclic groups

Benjamin Steinberg|ArXiv.org|2006. 07. 22.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 순환군의 무한 반복 와이어드 곱의 유한 상태 자동기에서 구면적 전이성(spherical transitivity)을 테스트하기 위한 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 유리 생성함수와 행렬 기반 상태 전이 분석을 사용한다. 주요 기여는 이러한 군에서 구면적 전이성과 동치성에 대한 결정 가능 기준을 제공하는 것으로, Sch"utzenberger의 유리 생성함수 이론과 자동기 이론을 활용한다.

ABSTRACT

We give a partial solution a question of Grigorchuk, Nekrashevych, Sushchanskii and Šunik by giving an algorithm to test whether a finite state element of an infinite iterated (permutational) wreath product $\hat G = \mathbb Z/k\mathbb Z\wr \mathbb Z/k\mathbb Z\wr \mathbb Z/k\mathbb Z\wr >...$ of cyclic groups of order $n$ acts spherically transitively. We can also decide whether two finite state spherically transitive elements of $\hat G$ are conjugate. For general infinite iterated wreath products, an algorithm is presented to determine whether two finite state automorphisms have the same image in the abelianization.

연구 동기 및 목표

• 그리고치크, 네크라셰비치, 숨야츠키, 슈니크가 제기한 순환군의 반복 와이어드 곱에서의 구면적 전이성에 관한 질문을 다루기 위해.
• 유한 상태 자동기의 작동 방식이 루트가 있는 정규 k-진 트리에서 구면적으로 전이되는지 여부를 판단하는 알고리즘을 개발하기 위해.
• 군 $\widehat{G}$ 내에서 두 유한 상태 구면적 전이 원소 간의 동치성을 결정하기 위해.
• 두 유한 상태 자동기의 $\widehat{G}$의 아벨화에서 동일한 이미지를 가지는지 여부를 결정할 수 있는지에 대해.

제안 방법

• 유한 상태 집합과 전이/출력 함수를 갖는 초기 자동기로 유한 상태 자동기를 표현하기 위해.
• 상태 전이를 인코딩하고 자동기 내 경로 수를 계산하기 위해 인cidencematrix를 사용하기 위해.
• 레마 6을 적용하여 아벨화에서 원소의 이미지를 생성함수로 표현하기: $ g[\widehat{G},\widehat{G}] = \sum_{j=0}^{\infty} (A^j v_A)_1 t^j $.
• 상태 공간의 유한성 덕분에 행렬 거듭제곱의 주기성을 활용해 무한 검사를 유한 계산으로 환원하기 위해.
• $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ 위에서의 선형 대수를 활용하여 유한한 범위까지 계수를 비교함으로써 아벨화에서의 이미지 동등성을 테스트하기 위해.
• Sch"utzenberger의 유리 생성함수 이론을 적용하여 임의의 유한 상태 자동기의 아벨화 이미지가 유리 생성함수임을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 상태 자동기의 반복 와이어드 곱에서의 구면적 전이성은 알고리즘적으로 테스트할 수 있는가?
• RQ2 $\mathrm{Aut}(T_k)$ 내에서 두 유한 상태 구면적 전이 원소는 서로 동치인가, 그리고 이는 알고리즘적으로 결정 가능한가?
• RQ3 두 유한 상태 자동기의 경우, 그들이 $\widehat{G}$의 아벨화에서 동일한 이미지를 가지는지 여부는 결정 가능한가?
• RQ4 유한 상태 자동기의 아벨화에서의 이미지는 유리 생성함수로 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 상태 자동기 $f$의 구면적 전이성은 결정 가능하며, 이는 $f[\widehat{G},\widehat{G}]$의 각 계수값이 $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}^\times$에 속해 있는지 확인하는 것과 동치이다.
• 상태 공간의 유한성 덕분에 알고리즘이 유한 시간 내에 종료되며, 상태 수가 $n$일 경우 단계 수의 상한은 $k^n$으로 주어진다.
• 구면적 전이 원소 두 개의 동치성은 제품 자동기 내 경로 수의 행렬 기반 비교를 통해 결정 가능하다.
• 두 유한 상태 자동기의 아벨화에서의 이미지 동등성은 유한한 범위까지 그들의 유리 생성함수 표현의 계수를 비교함으로써 결정 가능하다.
• 모든 유한 상태 자동기의 아벨화에서의 이미지는 $ (I - At)^{-1} v_A $의 유리성에 의해 증명된 바와 같이 유리 생성함수이다.
• 만약 $G^{ab}$가 유한 체일 경우, 동등성 검사는 $m+n$ 단계로 최적화될 수 있으며, 여기서 $m$과 $n$은 두 자동기의 상태 수이다.