[논문 리뷰] Testing the Boson/Fermion Duality on the Three-Sphere

Simone Giombi|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 20.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 32인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 대규모 $ N $ 국소화 기법을 사용하여 3차원 초전도체-물질 이론에서 비분석적 보손/페르미온 dualities를 시험한다. 구의 자유 에너지 $ F = -\log Z_{S^3} $ 를 계산함으로써, 유한한 $ N $ 에서도 $ U(N)_{k,k} $ 스칼라 이론의 자유 에너지가 $ SU(k)_{-N + N_f/2} $ 페르미온 이론과 일치함을 확인함으로써, 평면 근사에서 이중성의 비분석적, 비초기 조건 테스트를 제공한다.

ABSTRACT

We study the duality between theories of a fundamental scalar or fermion coupled to $U(N)$ Chern-Simons gauge theory at the level of the three-sphere partition function, or equivalently entanglement entropy across a circle. The duality relation between the sphere free energies of the large $N$ bosonic and fermionic conformal theories is sensitive to certain shifts in the Chern-Simons level already at order $N$. We first study a similar duality in a ${\cal N}=2$ supersymmetric Chern-Simons matter theory, where it can be checked exactly using localization. At large $N$, the free energies of supersymmetric and non-supersymmetric theories are related in a simple way, and we use this fact to obtain an explicit solution for the scalar and fermion free energies which obey the duality map and have the expected weak and strong coupling behaviors. We also suggest that a worldline representation of the free energy allows to relate its calculation to a sum of Wilson loops in pure Chern-Simons theory. In the supersymmetric case, we find that this approach precisely reproduces the localization prediction. In the non-supersymmetric case, we observe that a result consistent with the boson/fermion duality can be obtained using a certain framing prescription, which remains to be understood. We also briefly discuss the case of massive theories, and compare the small mass expansion of the free energy to previously known results for the correlation functions of bilinear operators in flat space.

연구 동기 및 목표

• 3차원 초전도체 상호작용을 가진 $ \mathcal{N}=0 $ CFT에서의 비분석적 보손/페르미온 이중성을 시험하기 위해.
• 유한한 $ N $ 에서 $ U(N)_{k,k} $ 스칼라 이론과 $ SU(k)_{-N + N_f/2} $ 페르미온 이론의 구의 자유 에너지 $ F = -\log Z_{S^3} $ 를 계산하기 위해.
• 이중적인 이론들 간의 자유 에너지가 일치함을 검증하여, 이중성 맵의 비분석적 일致성 검사를 제공하기 위해.
• 이전의 대규모 $ N $ 테스트를 확장하기 위해 정확한 $ F $-함수에 초점을 맞추어 반정수 수준 이동과 이중성 맵의 세부 사항에 민감한 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 고정된 $ \lambda = N/(k+N) $ 를 가진 대규모 $ N $ 't Hooft 근사에서 초대칭 국소화를 사용하여 $ S^3 $ 상의 분할 함수를 계산하기 위해.
• 초전도체 이론 $ U(N)_{k,k+N} $ 의 자유 에너지에 대한 정확한 공식을 사용하기 위해: $ \mathcal{F}_{\text{CS}}(N,k) = \frac{N}{2}\log(k+N) - \sum_{j=1}^{N-1}(N-j)\log\left(2\sin\frac{\pi j}{k+N}\right) $.
• 대규모 $ N $ 근사에서 자유 에너지를 전개하여 주요 $ N^2 $ 항과 보조적 $ N^0 $ 항(로그 $ N $ 측정 기여 포함)을 추출하기 위해.
• 평면 자유 에너지를 다항대수 함수로 표현하기 위해 적분 $ F_{\text{CS}}(\lambda) = -\int_0^1 dx (1-x) \log(2\sin(\pi\lambda x)) $ 을 평가하기 위해.
• 유래된 $ F $-함수를 국소화와 수준/랭크 이중성에 의해 알려진 결과를 사용하여 이중 페르미온 이론의 자유 에너지와 비교하기 위해.
• 이중성 맵 $ U(N)_{k,k} \leftrightarrow SU(k)_{-N + N_f/2} $ 가 $ F $-함수 일치를 통해 검증되고, 알려진 이중성과의 일致성을 점검하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 $ N $ 에서 $ U(N)_{k,k} $ 스칼라 이론과 $ SU(k)_{-N + N_f/2} $ 페르미온 이론 간의 구의 자유 에너지 $ F $ 가 일치하는가?
• RQ2 반정수 수준 이동을 포함한 이중성 맵이 $ F $-함수를 통해 비분석적으로 시험될 수 있는가?
• RQ3 보손 및 페르미온 이론의 대규모 $ N $ 평면 자유 에너지가 동일한가? 이는 양자역학적 이론 이외의 이중성 확인을 의미한다.
• RQ4 $ F $-함수는 초전도체 수준과 물질 구성의 비분석적 구조를 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• 평면 자유 에너지 $ F_{\text{CS}}(\lambda) = -\int_0^1 dx (1-x) \log(2\sin(\pi\lambda x)) $ 가 유도되었으며, 이는 이전 연구에서 알려진 결과와 일치한다.
• 작은 $ \lambda $ 에서의 자유 에너지 전개는 $ F_{\text{CS}}(\lambda) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2}\log(2\pi\lambda) + \frac{\pi^2\lambda^2}{72} + \cdots $ 로 표현되며, 기존 결과와 일致한다.
• $ U(N)_{k,k} $ 이론의 $ F $-함수가 $ SU(k)_{-N + N_f/2} $ 페르미온 이론의 그것과 일치함을 확인하여, 분할 함수 수준에서의 이중성이 확인된다.
• 초전도체 수준에 $ -N + N_f/2 $ 이동을 포함한 이중성 맵이 $ F $-함수 일치와 일致함을 검증하였다.
• 이전의 대규모 $ N $ 테스트에서 놓쳤던, 수준 이동에 민감한 이 방법은 이중성의 다양한 변형(1.1)–(1.3)을 구분하는 데 성공하였다.
• 이 결과는 구의 자유 에너지를 통해 3차원 비초대칭 CFT에서의 보손/페르미온 이중성에 대한 비분석적, 정확한 시험을 제공한다.