[논문 리뷰] Théorème d'Eilenberg-Zilber en homologie cyclique entière

Anne Bauval|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 페르투르베이션 렘마를 사용하여 순환 호몰로지의 Eilenberg-Zilber 셔플 및 Alexander-Whitney 사상의 유사체를 명시적으로 구성한다. 이는 $\overline{sh}_{\infty}$ 및 $\overline{AW}_{\infty}$로 표기되며, 그들의 호모토피 역사상과 결합법칙/코알제브라 호모토피를 포함한다. 이들 사상은 노름을 가진 대수의 전체 순환 호몰로지 복합체로 연속적으로 연장되며, 중요한 준동형사상 $\Omega_{\varepsilon}(A) \otimes \Omega_{\varepsilon}(B) \simeq \Omega_{\varepsilon}(A \otimes B)$를 확립한다. 이는 점점 더 발전하는 순환 호몰로지 이론에 핵심적이다.

ABSTRACT

For simplicial modules, Eilenberg-Zilber's classical theorem states the existence of a product $sh : M\otimes N o M imes N$ (the shuffle) and a coproduct $AW : M imes N o M\otimes N$ (the Alexander-Whitney map), which are quasi-inverse of eachother. A cyclic version of this theorem was established in 1987 by Hood and Jones: they proved that $sh$ and $AW$ admit "coextensions" $sh_\infty$ and $AW_\infty$, using an acyclic-model method. Besides, an explicit formula for $sh_\infty$ has been discovered by several authors. But the question remained open of such an explicit formula for $AW_\infty$, and for the homotopies by which $sh_\infty$ and $AW_\infty$ are mutual quasi-inverses and are quasi-(co)-associative. We present a complete answer to this problem and show that all these -- now explicit -- maps extend continuously to entire cyclic complexes (associated to normed algebras).

연구 동기 및 목표

• 순환 호몰로지 버전의 Alexander-Whitney 사상 $\overline{AW}_{\infty}$를 명시적으로 구성하는 열린 문제를 해결한다.
• $\overline{sh}_{\infty}$ 및 $\overline{AW}_{\infty}$가 준역사상이자 준-코알제브라적임을 보장하는 명시적 호모토피를 제공한다.
• 모든 구성된 사상이 노름을 가진 대수의 전체 순환 호몰로지 복합체로 연속적으로 연장됨을 증명하여 전체 순환 호몰로지 함자와의 호환성을 확보한다.
• Puschnigg의 점점 더 발전하는 순환 호몰로지 이론을 단순화하기 위한 기초 단계를 마련한다.

제안 방법

• Brown의 페르투르베이션 렘마를 정규화된 Eilenberg-Zilber 사상에 적용하여 순환 설정에서의 명시적 코확장 $\overline{sh}_{\infty}$ 및 $\overline{AW}_{\infty}$를 구성한다.
• 표준 셔플 $\overline{sh}$와 함께 순환 셔플 $\overline{sh}'$를 명시적으로 포함시켜 통합된 방식으로 순환 구조를 복원한다.
• 페르투르베이션 렘마로부터 유도된 호모토피 자료를 이용하여 $\overline{sh}_{\infty}$ 및 $\overline{AW}_{\infty}$가 준역사상이자 준-코알제브라적임을 증명한다.
• 반복된 $B$-작용이 $\Omega_{\varepsilon}(A \otimes B)$의 일반 원소들에 대해 연산자 노름을 유계화하는 조합적 및 해석적 추정을 통해 사상의 연속성을 확립한다.
• 팩토리얼 및 지수적 인자에 따른 성장 조절을 통해 모든 사상이 노름을 가진 대수 $A$에 대응하는 전체 순환 호몰로지 복합체 $\Omega_{\varepsilon}(A)$에서 잘 정의되고 연속적임을 보장한다.
• 정규화되지 않은 모듈러에 대한 프레임워크를 확장하고, 대수에서 임의의 순환 모듈로의 결과를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순환 호몰로지 버전의 Alexander-Whitney 사상 $\overline{AW}_{\infty}$는 $\overline{sh}_{\infty}$의 알려진 공식과 유사하게 명시적으로 구성될 수 있는가?
• RQ2 $\overline{sh}_{\infty}$ 및 $\overline{AW}_{\infty}$가 준역사상이자 준-코알제브라적임을 보장하는 명시적 호모토피는 무엇인가?
• RQ3 명시적 사상 $\overline{sh}_{\infty}$ 및 $\overline{AW}_{\infty}$는 노름을 가진 대수 $A$의 전체 순환 호몰로지 복합체 $\Omega_{\varepsilon}(A)$로 연속적으로 연장되는가?
• RQ4 페르투르베이션 렘마를 사용하여 전체 순환 호몰로지에서 Eilenberg-Zilber 정리의 연속적이고 명시적인 모델을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\overline{AW}_{\infty}$에 대한 명시적 공식을 제공하며, 이는 순환 Eilenberg-Zilber 정리에서 누락된 핵심 요소를 완성한다.
• $\overline{sh}_{\infty}$의 호모토피 역사는 명시적으로 구성되었으며, 필요한 호모토피 관계를 만족함을 증명한다.
• $\overline{sh}_{\infty}$ 및 $\overline{AW}_{\infty}$가 준-코알제브라적임이 입증되었으며, 페르투르베이션 렘마로부터 유도된 명시적 호모토피가 제공된다.
• $\Omega_r(A \otimes B)$에서 $\sum_{k>0} (\varphi B)^k$의 연산자 노름은 $C \cdot (4LMr)^n / \sqrt{n!}$으로 유계지며, $C$는 $K, L, M$에 의존하며, $r \to 0$일 때 이 유계값은 0으로 수렴함을 보여 연속성을 증명한다.
• 전체 순환 호몰로지 복합체 $\Omega_{\varepsilon}(A)$가 사상에 의해 보존되며, 연속적 확장에 의해 준동형사상 $\Omega_{\varepsilon}(A) \otimes \Omega_{\varepsilon}(B) \simeq \Omega_{\varepsilon}(A \otimes B)$가 확립된다.
• 이 구성은 전체 순환 호몰로지에서 Eilenberg-Zilber 정리에 대한 연속적이고 명시적이며 준동형적인 모델을 제공하며, 점점 더 발전하는 순환 호몰로지 이론에의 적용을 가능하게 한다.