[논문 리뷰] The 1/k-Eulerian polynomials and k-Stirling permutations

Shi-Mei Ma, Toufik Mansour|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 23.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 1/k-Eulerian 다항식 $A_n^{(k)}(x)$와 $k$-Stirling 순열 사이의 조합적 연결을 확립하여, $A_n^{(k)}(x)$가 순서 $n$의 $k$-Stirling 순열에서 가장 긴 상승-평탄한 위치의 수를 세는 것으로 나타남을 보여준다. 저자들은 생성함수와 일치하는 재귀관계를 통해 이를 증명하고, 이중 다항식 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$가 0을 포함한 $k$-Stirling 순열과 연결됨을 추가로 밝혔다. 이 작업은 고전적 순열 통계와 일반화된 Stirling 및 Eulerian 구조를 통합한다.

ABSTRACT

In this paper, we establish a connection between the 1/k-Eulerian polynomials introduced by Savage and Viswanathan (Electron. J. Combin. 19(2012), P9) and k-Stirling permutations. We also introduce the dual set of Stirling permutations.

연구 동기 및 목표

• 1/k-Eulerian 다항식 $A_n^{(k)}(x)$의 조합적 해석을 $k$-Stirling 순열의 관점에서 확립하기.
• 두 값 $A_n^{(k)}(1)$과 $k$-Stirling 순열의 수가 모두 $\prod_{i=1}^{n-1}(ik+1)$과 일치하므로, $A_n^{(k)}(x)$가 $k$-Stirling 순열과 관련이 있는지 여부를 해결하기.
• 0을 포함한 $k$-Stirling 순열의 이중 집합을 정의하고 분석하며, 그 생성함수가 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$와 일치함을 보이기.
• 변환 $\Phi$를 $k$-Stirling 순열에 적용하여 고전적 순열 통계—내부 피크, 왼쪽 피크, 교대 구간—을 통합하기. 이는 $A_n^{(k)}(x)$ 및 관련 다항식과 연결된다.

제안 방법

• $k$-Stirling 순열을 $\{1^k, 2^k, \dots, n^k\}$의 순열로 정의하며, 두 $i$ 사이의 원소가 $\geq i$여야 하며, 이 집합을 $\mathcal{Q}_n(k)$로 표기한다.
• 통계 ${\rm ap\,}(\sigma)$를 도입하여, $\sigma_{i-1} < \sigma_i = \sigma_{i+1} = \cdots = \sigma_{i+k-1}$를 만족하는 가장 긴 상승-평탄한 위치의 수를 세는 것으로 정의한다.
• $A_n^{(k)}(x)$의 계수가 $j$개의 가장 긴 상승-평탄한 위치를 가진 $k$-Stirling 순열의 수와 동일한 재귀관계를 만족함을 증명한다: $T(n+1,j;k) = (1+kj)T(n,j;k) + k(n-j+1)T(n,j-1;k)$.
• $\mathcal{Q}_n^0(k)$를 $\{0\sigma \mid \sigma \in \mathcal{Q}_n(k)\}$로 정의하고, 이중 재귀관계를 통해 $x^n A_n^{(k)}(1/x) = \sum_{\sigma \in \mathcal{Q}_n^0(k)} x^{{\rm ap\,}(\sigma)}$임을 보인다.
• $k$-Stirling 순열에 변환 $\Phi$를 적용하여 $\mathfrak{S}_{2n}$ 내 순열로 매핑하고, 이미지에서 내부 피크와 왼쪽 피크가 각각 $A_n^{(k)}(x)$와 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$와 대응됨을 보여준다.
• $ (1+x)C_n(x) = x A_n^{(2)}(x^2) + x^{2n} A_n^{(2)}(1/x^2) $로 정의된 $C_n(x)$를 정의하고, $\Phi(\mathcal{Q}_n)$ 내 교대 구간의 수를 세는 것으로 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1/k-Eulerian 다항식 $A_n^{(k)}(x)$는 $k$-Stirling 순열의 관점에서 조합적 해석을 가질 수 있는가?
• RQ2 $A_n^{(k)}(x)$의 재귀관계는 $k$-Stirling 순열에 대한 삽입 규칙으로 해석될 수 있는가?
• RQ3 $\Phi$의 이미지에서 내부 피크와 왼쪽 피크의 통계는 이중 다항식 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 변환 $\Phi$는 $k$-Stirling 순열과 내부 피크, 왼쪽 피크, 교대 구간 등의 순열 통계를 어떻게 연결하는가?
• RQ5 생성함수 $C_n(x)$는 $k$-Stirling 순열에서 유도된 특정한 순열 집합 내 교대 구간을 세는 것으로 해석될 수 있는가?

주요 결과

• $A_n^{(k)}(x)$는 $k$-Stirling 순열에서 가장 긴 상승-평탄한 위치의 수를 세는 생성함수와 같다: $A_n^{(k)}(x) = \sum_{\sigma \in \mathcal{Q}_n(k)} x^{{\rm ap\,}(\sigma)}$.
• 이중 다항식 $x^n A_n^{(k)}(1/x)$는 0을 포함한 $k$-Stirling 순열에서 가장 긴 상승-평탄한 위치의 수를 세는 생성함수와 같다: $x^n A_n^{(k)}(1/x) = \sum_{\sigma \in \mathcal{Q}_n^0(k)} x^{{\rm ap\,}(\sigma)}$.
• $k=2$일 때, 다항식 $A_n^{(2)}(x)$는 $\Phi(\mathcal{Q}_n)$의 이미지에서 내부 피크의 수를 세고, $x^n A_n^{(2)}(1/x)$는 왼쪽 피크의 수를 세는 것으로 나타난다.
• $ (1+x)C_n(x) = x A_n^{(2)}(x^2) + x^{2n} A_n^{(2)}(1/x^2) $로 정의된 다항식 $C_n(x)$는 $\Phi(\mathcal{Q}_n)$ 내 교대 구간의 수를 세며, 즉 $C_n(x) = \sum_{\pi \in \Phi(\mathcal{Q}_n)} x^{{\rm run\,}(\pi)}$이다.
• 첫 몇 개의 $C_n(x)$는 대칭적이고 단조 증가하는 성질을 가진다: $C_1(x) = x$, $C_2(x) = x + x^2 + x^3$, $C_3(x) = x + 3x^2 + 7x^3 + 3x^4 + x^5$, 등으로, 계수는 알려진 수열 A059427과 A185410과 일치한다.