[논문 리뷰] The 2-local Hamiltonian problem encompasses NP

Paweł Wocjan, Thomas Beth|ArXiv.org|2003. 01. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 2-local 하미르토니안 문제의 NP-완전성을 입증한다. 이는 전통적인 NP-완전 문제인 MAX CUT 및 INDEPENDENT SET 문제를 큐비트 기반 스핀에코 부호화를 사용하여 2-local 하미르토니안으로 환원함으로써 이루어진다. 핵심 결과는 2-local 하미르토니안이 임의의 NP 문제를 인코딩할 수 있음을 보여주며, 이는 양자 복잡도 클래스 BQNP 가 NP 에 포함됨을 시사하고, 2-local 하미르토니안 문제의 난이도가 NP 내에서 가장 어려운 문제들과 동일함을 의미한다.

ABSTRACT

We show that the NP complete problems MAX CUT and INDEPENDENT SET can be formulated as the 2-local Hamiltonian problem as defined by Kitaev. He introduced the quantum complexity class BQNP as the quantum analog of NP, and showed that the 5-local Hamiltonian problem is BQNP-complete. It is not known whether the s-local Hamiltonian problem is BQNP-complete for s smaller than 5. Therefore it is interesting to determine what problems can be reduced to the s-local Hamiltonian problem. Kitaev showed that 3-SAT can be formulated as a 3-local Hamiltonian problem. We extend his result by showing that 2-locality is sufficient in order to encompass NP.

연구 동기 및 목표

• 양자 복잡도 이론의 맥락에서 2-local 하미르토니안 문제의 계산 복잡도를 규명하는 것.
• NP-완전 문제들이 2-local 하미르토니안 문제로 환원될 수 있는지 여부를 조사하는 것. 이는 양자 컴퓨팅 분야에서 핵심적인 열린 문제이다.
• 기존 키타에프의 결과를 확장하는 것. 즉, 3-SAT 가 3-local 하미르토니안으로 인코딩될 수 있음을 보였지만, 본 논문은 2-locality 가 NP-완전성 유지를 위해 충분함을 보여준다.
• 큐비트 부호화를 사용하여 고전적 NP 문제와 양자 하미르토니안 최저 에너지 상태 문제 사이의 직접적인 연결 고리를 설정하는 것.
• 2-local 하미르토니안 문제가 NP 내에서 가장 어려운 문제들과 동일한 난이도를 가짐을 보여주어, 양자 복잡도 클래스에 대한 이해의 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 그래프의 각 정점을 큐비트로 표현하며, 계산 기저 상태 |0⟩ 과 |1⟩ 은 정점에 대한 이진 할당을 나타낸다.
• 투사 연산자를 사용하여 2-local 하미르토니안을 구성한다: MAX CUT 에서는 $ P_{even} = \langle00| + |11\rangle\langle11| $ 를 사용하고, INDEPENDENT SET 에서는 $ P_0 = |0\rangle\langle0| $, $ P_{11} = |11\rangle\langle11| $ 를 사용한다.
• 하나의 간선에 대해 하미르토니안을 정의한다: MAX CUT 에서는 $ H = \sum_{(k,l)\in E} P_{even}[k,l] $ 이고, INDEPENDENT SET 에서는 $ H = \sum_{k\in V} P_0[k] + \sum_{(k,l)\in E} P_{11}[k,l] $ 이다.
• 각 계산 기저 상태의 에너지를 고전 문제의 목적 함수(자르기 무게 또는 독립집합 크기)에 매핑한다.
• 약속 간격 파라미터를 설정한다: MAX CUT 에서는 $ a = |E| - w + 0.5 $, $ b = a + 0.25 $ 이고, INDEPENDENT SET 에서는 $ a = |V| - v + 0.5 $, $ b = a + 0.25 $ 이다. 이는 비자명한 약속 간격을 확보하기 위함이다.
• 필요한 크기의 자르기 또는 독립집합이 존재하는 것과 하미르토니안의 저에너지 고유상태가 존재하는 것이 상호 대응됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 NP-완전 문제들은 2-local 하미르토니안 문제로 인코딩될 수 있는가?
• RQ2 2-local 하미르토니안 문제의 난이도는 NP 내에서 가장 어려운 문제들과 동일한가?
• RQ3 MAX CUT 및 INDEPENDENT SET 문제들은 큐비트 부호화를 사용하여 2-local 하미르토니안으로 환원될 수 있는가?
• RQ4 2-locality 가 양자 하미르토니안 프레임워크 내에서 NP의 전체 복잡도를 포괄하는 데에 충분한가?
• RQ5 s-local 하미르토니안 문제의 최소 국소성(s)은 얼마여야 NP-완전이 되는가?

주요 결과

• MAX CUT 로부터 다항시간 환원을 통해 2-local 하미르토니안 문제가 NP-완전임을 입증하였다.
• 환원은 2-local 하미르토니안 $ H = \sum_{(k,l)\in E} P_{even}[k,l] $ 를 사용하며, 여기서 $ P_{even} $ 는 큐비트 k와 l가 동일한 값을 가질 경우에 투사하는 연산자이다.
• 그래프에 최소 무게 $ w $ 의 컷이 존재하는 것과 하미르토니안의 고유값이 $ \leq |E| - w $ 인 것이 필요충분조건이며, 이는 $ a = |E| - w + 0.5 $, $ b = a + 0.25 $ 로 설정함으로써 확보된다.
• INDEPENDENT SET 문제 역시 2-local 하미르토니안 $ H = \sum_{k\in V} P_0[k] + \sum_{(k,l)\in E} P_{11}[k,l] $ 으로 환원되며, 여기서 $ P_0 $ 는 |1⟩ 상태의 큐비트를 벌칙하고, $ P_{11} $ 는 얽힌 |11⟩ 쌍을 벌칙한다.
• 크기가 최소 $ v $ 이상인 독립집합이 존재하는 것은 하미르토니안의 고유값 $ \leq |V| - v $ 와 상응하며, 동일한 약속 간격 파라미터가 비자명한 약속 간격을 보장한다.
• 약속 간격 $ b - a = 0.25 > n^{-2} $ 는 $ n \geq 3 $ 인 모든 경우에 성립하며, 이는 국소 하미르토니안 문제에서 비무시적 약속 간격을 만족하는 조건을 충족한다.