[논문 리뷰] The 4-Adic Complexity of A Class of Quaternary Cyclotomic Sequences with Period 2p

Shiyuan Qiang, Yan Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 24.

Coding theory and cryptography참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathbb{Z}_{4^N - 1}$에서의 새로운 이차 가우스 합 $G_p$를 사용하여 주기 $2p$인 4진 순환 수열 클래스의 4-adic 복잡도를 결정한다. $5 \nmid p-2$일 경우 4-adic 복잡도가 최대값 $ \log_4(4^N - 1)$에 도달하고, 그 외의 경우 $ \log_4\left(\frac{4^N - 1}{5}\right)$에 도달함을 보여주며, 암호학적 응용에서 거의 최적의 복잡도를 갖는다는 것을 입증한다.

ABSTRACT

In cryptography, we hope a sequence over $\mathbb{Z}_m$ with period $N$ having larger $m$-adic complexity. Compared with the binary case, the computation of 4-adic complexity of knowing quaternary sequences has not been well developed. In this paper, we determine the 4-adic complexity of the quaternary cyclotomic sequences with period 2$p$ defined in [6]. The main method we utilized is a quadratic Gauss sum $G_{p}$ valued in $\mathbb{Z}_{4^N-1}$ which can be seen as a version of classical quadratic Gauss sum. Our results show that the 4-adic complexity of this class of quaternary cyclotomic sequences reaches the maximum if $5 mid p-2$ and close to the maximum otherwise.

연구 동기 및 목표

• 주기 $2p$인 4진 순환 수열의 4-adic 복잡도를 결정하는 것.
• 이진 수열에 비해 4진 수열의 4-adic 복잡도를 계산하는 데 개발된 방법이 부족한 문제를 다루는 것.
• 제안된 수열이 근사 최대 4-adic 복잡도를 달성함을 입증하여 암호학적 보안에 핵심적인 역할을 할 수 있음을 보장하는 것.
• 핵심 분석 도구로 사용하기 위해 $ \mathbb{Z}_{4^N - 1}$에서 수정된 이차 가우스 합 $G_p$를 도입하고 활용하는 것.

제안 방법

• 2p 모듈로의 순환 클래스와 레지오드 심볼 분할을 기반으로 주기 $2p$인 $ \mathbb{Z}_4$ 위의 4진 수열 $A$를 정의한다.
• 클래식한 이차 가우스 합의 변형으로서, $G_p = \sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) 4^{2a} \mod (4^N - 1)$인 4-adic 가우스 합 $G_p$를 도입한다.
• 모듈로 $4^N - 1$에서 4-adic 복잡도 생성자 $S_A(4) = \sum_{i=0}^{N-1} a(i) 4^i$를 $G_p$로 표현한다.
• 분해를 통해 $d_+ = \gcd(S_A(4), 4^p + 1)$와 $d_- = \gcd(S_A(4), 4^p - 1)$로 분리하여 $\gcd(S_A(4), 4^N - 1)$를 분석한다.
• 레지오드 심볼의 성질과 모듈로 산술을 활용하여 $d_+$와 $d_-$를 평가하며, 특히 5와 $\ell \geq 5$인 소수의 나눗셈에 초점을 맞춘다.
• 결과적으로 $5 \mid p-2$이면 $d_+ = 5$, 아니면 $d_+ = 1$이며, $d_-$는 항상 $1$임을 입증하여 최종 복잡도 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기 $2p$인 4진 순환 수열의 4-adic 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 다른 소수들과 비교하여 $p \equiv 2 \pmod{5}$일 경우 4-adic 복잡도는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 가우스 합 $ \mathbb{Z}_{4^N - 1}$에서 수정된 이차 가우스 합을 사용하여 이러한 수열의 4-adic 복잡도를 계산할 수 있는가?
• RQ4 이 수열의 4-adic 복잡도는 이론적 최대값에 가까운가?
• RQ5 복잡도 값 결정에 있어 소수 5는 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 5 \nmid p - 2$일 경우 4진 순환 수열의 4-adic 복잡도는 최대값 $ \log_4(4^N - 1)$에 도달한다.
• 5 \mid p - 2$일 경우 4-adic 복잡도는 $ \log_4\left(\frac{4^N - 1}{5}\right)$이며, 이는 최대값에 매우 가까운 값을 갖는다.
• $d = \gcd(S_A(4), 4^N - 1)$의 값은 $5 \nmid p - 2$이면 1, $5 \mid p - 2$이면 5이며, 이는 복잡도 수준을 결정한다.
• 분석 결과 $d_- = \gcd(S_A(4), 4^p - 1) = 1$임을 확인하여, 이 성분으로 인한 복잡도의 추가 감소가 없음을 보장한다.
• $\mathbb{Z}_{4^N - 1}$에서의 가우스 합 $G_p$는 고전적 이차 가우스 합과 유사한 성질을 만족하여 $S_A(4)$의 유도를 가능하게 한다.
• 결과적으로 $p \not\equiv 2 \pmod{5}$일 경우 높은 4-adic 복잡도로 인해 암호학적 성질이 뛰어나다는 것이 입증된다.