[논문 리뷰] The A-infinity Centre of the Yoneda Algebra and the Characteristic Action of Hochschild Cohomology on the Derived Category

Benjamin Briggs, Vincent Gélinas|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 02.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 야네다 대수의 $A_{u}$-중심을 고급 중심의 보완으로 도입하여, 특성 사상 $\chi_M: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(M,M)$가 정확히 이 $A_{\infty}$-중심에 값이 있음을 보여준다. 주요 결과는 부치체츠, 그린, 셔널, 솔버그의 코즐 유도 정리의 일반화로서, 증강된 dg 대수에 대해 $\chi_k$가 $\mathrm{Ext}_A(k,k)$의 $A_{\infty}$-중심에 값이 있음을 증명하며, 자유 루프 공간과 교차 사상에 의한 위상수학적 응용을 포함한다.

ABSTRACT

For A a dg (or A-infinity) algebra and M a module over A, we study the image of the characteristic morphism $χ_M: HH^*(A, A) o Ext_A(M, M)$ and its interaction with the higher structure on the Yoneda algebra $Ext_A(M, M)$. To this end, we introduce and study a notion of A-infinity centre for minimal A-infinity algebras, agreeing with the usual centre in the case that there is no higher structure. We show that the image of $χ_M$ lands in the A-infinity centre of $Ext_A(M, M)$. When A is augmented over k, we show (under mild connectedness assumptions) that the morphism $χ_k: HH^*(A, A) o Ext_A(k,k)$ into the Koszul dual algebra lands exactly onto the A-infinity centre, generalising the situation from the Koszul case established by Buchweitz, Green, Snashall and Solberg. We give techniques for computing A-infinity centres, hence for computing the image of the characteristic morphism, and provide worked-out examples. We further study applications to topology. In particular we relate the A-infinity centre of the Pontryagin algebra to a wrong way map coming from the homology of the free loop space, first studied by Chas and Sullivan.

연구 동기 및 목표

• 고급 중심을 넘어서 $A_{\infty}$-구조가 존재할 때 특성 사상 $\chi_M: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(M,M)$의 상을 이해하는 것, 특히 $A_{\infty}$-구조가 있을 경우의 상을 파악하는 것.
• 최소 $A_{\infty}$-대수의 $A_{\infty}$-중심을 정의하고 연구함으로써 고급 중심의 보완을 제공하고, 호모토피 이론적 교환 법칙을 포착하는 것.
• 기존의 결과인 코즐 대수에 대해 $\chi_k$가 $\mathrm{Ext}_A(k,k)$의 고급 중심에 값이 있음을 일반화하여, 약간의 연결성 조건 하에 임의의 증강된 dg 대수에 대해 $\chi_k$가 정확히 $A_{\infty}$-중심에 값이 있음을 보이는 것.
• 호크시ลด 코homology, $A_{\infty}$-구조, 위상수학 간의 개념적 연결 고리를 확립하며, 특히 자유 루프 공간 호몰로지의 교차 사상에 기반한다.
• $A_{\infty}$-중심을 위한 계산 도구를 제공하고, 리 군과 형식적 dga를 포함한 예시에 적용하는 것.

제안 방법

• 고차 교환자와 $A_{\infty}$-곱의 정의를 통해 $A_{\infty}$-중심을 도입함. 이는 $\mu_n(a,x_1,\dots,x_{n-1}) = \pm \mu_n(x_1,\dots,x_{n-1},a)$를 상수부호와 호모토피에 대해 만족하는 원소로 정의함.
• dg 또는 $A_{\infty}$-대수 $B$에 대해 $\Pi: \mathrm{HH}^*(B,B) \to \mathrm{H}(B)$의 사영 사상으로 $A_{\infty}$-중심을 정의함. 이는 고차 교환자 조건과 정확히 일치함을 보임.
• $A^! = \mathrm{RHom}_A(k,k)$일 때, $\mathrm{HH}^*(A,A)$와 $\mathrm{HH}^*(A^!,A^!)$ 사이의 등급을 유지하는 이sovorphism을 통해 가환 다이어그램을 수립함. 이는 $A_{\infty}$-설정에서 페리스-멘니히-타스토의 등급을 사용함.
• 증강된 dg 대수 $A$의 코즐 쌍대 $A^!$에 이론을 적용하여 $\chi_k$가 $\mathrm{H}(A^!)$의 $A_{\infty}$-중심을 통해 인식됨을 보임. 이는 코즐 케이스의 일반화임.
• 최소 모델을 사용하여 $A^!$의 $A_{\infty}$-중심을 내재적으로 계산함으로써, 예시에서의 명시적 계산을 가능하게 함.
• 자유 루프 공간 호몰로지의 교차 사상 $I: \mathrm{H}_{*+d}(LX) \to \mathrm{H}_*(\Omega X)$을 특성 사상과 연결하여, 그 상이 $\mathrm{H}_*(\Omega X)$의 $A_{\infty}$-중심에 포함됨을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 사상 $\chi_M$의 상을 $A_{\infty}$-구조가 존재할 때 정확히 포착하는 고급 중심의 일반화는 무엇인가? 특히 $\mathrm{Ext}_A(M,M)$에 $A_{\infty}$-구조가 있을 경우.
• RQ2 증강된 dg 대수 $A$에 대해 특성 사상 $\chi_k: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(k,k)$는 정확히 $\mathrm{H}(A^!)$의 $A_{\infty}$-중심에 값이 있나요?
• RQ3 $A_{\infty}$-중심은 고전적 코즐 유도 구조와 호크시ลด 코homology의 특성 작용과 어떻게 관련이 있나요?
• RQ4 $A_{\infty}$-중심은 명시적으로 계산할 수 있으며, 자유 루프 공간의 위상에 어떤 영향을 미치나요?
• RQ5 자유 루프 공간 호몰로지의 교차 사상과 폰트리아긴 대수의 $A_{\infty}$-중심 사이의 관계는 무엇인가요?

주요 결과

• 특성 사상 $\chi_M: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(M,M)$의 상은 $\mathrm{H}(\mathrm{RHom}_A(M,M))$의 $A_{\infty}$-중심에 정확히 포함되며, 이는 기존의 고급 중심 포함 관계를 보완함.
• 체 $k$ 위의 증강된 dg 대수 $A$가 근본 이상의 이상을 갖는 경우, 사상 $\chi_k: \mathrm{HH}^*(A,A) \to \mathrm{Ext}_A(k,k)$는 정확히 $\mathrm{H}(A^!)$의 $A_{\infty}$-중심에 값이 있음. 이는 코즐 케이스를 일반화함.
• 최소 $A_{\infty}$-대수의 $A_{\infty}$-중심은 사영 사상 $\Pi: \mathrm{HH}^*(B,B) \to \mathrm{H}(B)$의 상으로 정의되며, 이는 모든 고차 곱과 호모토피에 대해 교환되는 원소들의 집합과 정확히 일치함.
• 등급 $\mathrm{HH}^*(A,A) \cong \mathrm{HH}^*(A^!,A^!)$는 $\chi$와 $\Pi$를 포함하는 가환 다이어그램을 유도하며, 일반화된 코즐 유도 결과에 대한 개념적 증명을 제공함.
• 특성 0에서, 샤파링 사상 $\chi: \mathrm{HH}^*(A,A) \to A^!$가 전사임과 동시에 $A$가 미분이 없는 대칭 대수와 준동치임은 동치이며, 이는 $A^!$가 $A_{\infty}$-교환법칙을 만족함을 의미함.
• 교차 사상 $I: \mathrm{H}_{*+d}(LX) \to \mathrm{H}_*(\Omega X)$가 전사임과 동시에 $X$가 홀수 차원의 구들의 곱과 유리수 호모토피 동치임은 동치이며, 이는 $A_{\infty}$-중심이 정확히 $\pi_*(\Omega X) \otimes k$의 리 대수의 아벨리안일 때 크기가 크다는 것과 일치함.