[논문 리뷰] The A-truncated K-moment problem

Jiawang Nie|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 25.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 41인용 수 49

한 줄 요약

이 논문은 주어진 다중순서열이 $K$-측도를 가질 수 있는지 여부를 결정하는 $\tau$-자르기 $K$-모멘트 문제 ($\mathcal{A}$-TKMP)를 해결하기 위한 수치적 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 계층적인 준정방형 프로그래밍에서 무작위 목적 함수를 사용하여 점점 더 평탄한 확장을 얻으며, representing 측도의 존재 또는 비존재를 증명하고 $r \leq |\mathcal{A}|$인 $r$-원자 해를 제공한다. 이 접근법은 CP-분해 및 SOEP-분해와 같은 문제들을 일반화하고 수치적으로 해결한다.

ABSTRACT

Let A be a finite subset of N^n, and K be a compact semialgebraic set in R^n. An A-tms is a vector y indexed by elements in A. The A-truncated K-moment problem (A-TKMP) studies whether a given A-tms y admits a K-measure or not. This paper proposes a numerical algorithm for solving A-TKMPs. It is based on finding a flat extension of y by solving a hierarchy of semidefinite relaxations {(SDR)_k} for a moment optimization problem, whose objective R is generated in a certain randomized way. If y admits no K-measures and R[x]_A is K-full, then (SDR)_k is infeasible for all K big enough, which gives a certificate for the nonexistence of representing measures. If y admits a K-measure, then for almost all generated R, we prove that: i) we can asymptotically get a flat extension of y by solving the hierarchy {(SDR)_k\}; ii) under a general condition that is almost sufficient and necessary, we can get a flat extension of y by solving (SDR)_k for some k; this occurred in all our numerical experiments; iii) the obtained flat extensions admit a r-atomic K-measure with r <= |A|. The decomposition problems for completely positive matrices and sums of even powers of real linear forms, and the standard truncated K-moment problems, are special cases of A-TKMPs, and hence can be solved numerically by this algorithm.

연구 동기 및 목표

• 주어진 $\mathcal{A}$-tms가 $K$-대응 측도를 가질 수 있는지 여부를 판단하는 $\mathcal{A}$-자르기 $K$-모멘트 문제 (\mathcal{A}\text{-TKMP})를 해결하기 위한 수치적 알고리즘을 개발하는 것.
• 해당 $K$-측도가 존재하지 않을 경우, 큰 $k$에서 준정방형 리 릴랙션의 비가능성으로 인해 비존재를 증명하는 방법을 제공하는 것.
• $K$-측도가 존재할 경우, 주어진 $\mathcal{A}$-tms에 대한 평탄한 확장을 계산하여 유한 원자 대응 측도를 구성할 수 있도록 하는 것.
• 결과로 얻어진 측도가 $r \leq |\mathcal{A}|$인 $r$-원자 해가 되도록 보장하여, 희박성과 지지 집합 크기 측면에서 최적화된 결과를 얻는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 다항식 $R$이 $\Sigma_{n,d}$에서 추출된 무작위 목적 함수를 사용하는 모멘트 최적화 문제에 대한 계층적인 준정방형 리 릴랙션 $(\mathtt{SDR})_k$를 사용한다. 여기서 $\Sigma_{n,d}$는 제곱합의 집합을 의미한다.
• 주어진 $\mathcal{A}$-tms $y$에 대한 평탄한 확장을 찾기 위해 계층 $\{ (\mathtt{SDR})_k \}_{k=1}^\infty$를 이용하며, 모멘트 행렬과 로컬라이징 행렬의 구조를 활용한다.
• 무작위 목적 함수 $R$은 거의 모든 선택에 대해, $K$-측도가 존재할 경우 점점 더 평탄한 확장을 회복함을 보장한다.
• $\mathbb{R}[x]_{\mathcal{A}}$가 $K$-완전일 경우, 큰 $k$에서 $(\mathtt{SDR})_k$의 비가용성은 $K$-측도가 존재하지 않음을 증명한다.
• 평탄한 확장을 통해 $K$-대응 측도를 구성하며, 이는 $r \leq |\mathcal{A}|$인 $r$-원자 해임이 보장된다.
• 이 방법은 완전히 양의 행렬 분해 및 선형형 다항식의 짝수 거듭제곱 합 분해와 같은 특수한 경우에 적용 가능하며, 이들은 모두 $\mathcal{A}$-TKMP로 재구성된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 $\mathcal{A}$-tms가 컴acts semialgebraic 집합 $K$에 대해 $K$-측도를 가질 수 있는지 여부를 판단할 수 있는 수치적 알고리즘을 개발할 수 있는가?
• RQ2 해당 $K$-측도가 존재하지 않을 경우, 알고리즘이 비존재를 증명할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 알고리즘이 유한한 단계 내에서 $\mathcal{A}$-tms의 평탄한 확장을 계산할 수 있는가?
• RQ4 알고리즘이 $r \leq |\mathcal{A}|$인 $K$-대응 측도를 $r$-원자 해로 생성할 수 있는가?
• RQ5 이 알고리즘은 CP-분해 및 SOEP-분해와 같은 어려운 문제를 수치적으로 해결하는 데 어떻게 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 거의 모든 무작위 목적 함수 $R$에 대해, $K$-측도가 존재할 경우 계층 $\{ (\mathtt{SDR})_k \}_{k=1}^\infty$는 점점 더 평탄한 확장을 얻는다.
• 만약 $y$가 $K$-측도를 가지지 못하고 $\mathbb{R}[x]_{\mathcal{A}}$가 $K$-완전일 경우, 모든 충분히 큰 $k$에 대해 $(\mathtt{SDR})_k$는 비가용해지며, 이는 비존재를 증명하는 증거가 된다.
• 거의 필수적이고 충분한 일반 조건 하에서, 어떤 유한한 $k$에 대해 $(\mathtt{SDR})_k$를 풀면 평탄한 확장을 얻을 수 있으며, 이는 유한 단계 수렴을 가능하게 한다.
• 얻어진 평탄한 확장은 $r \leq |\mathcal{A}|$인 $r$-원자 해를 갖는 $K$-대응 측도를 제공하며, 이는 지지 집합 크기 측면에서 최적이다.
• 6차 tms에 대해 $[-1,1]^2$에서 10-원자 대응 측도를 성공적으로 계산하였으며, 이는 이론적 한계 $r \leq |\mathcal{A}| = 28$와 일치한다.
• 이 방법은 표준 자르기 $K$-모멘트 문제로 일반화되며, 이전에 효율적인 알고리즘이 없었던 CP-분해 및 SOEP-분해 문제를 수치적으로 해결한다.