[논문 리뷰] The adjoint representation inside the exterior algebra of a simple Lie algebra

Corrado De Concini, Paolo Papi외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 18.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단순 리 대수 $\mathfrak{g}$ 에서 그 이중공간으로의 $\mathfrak{g}$-불변 다중선형 반대칭 형식의 공간이, $\mathfrak{g}$ 의 모든 원시적 불변량을 포함하는 외적 대수에서 생성된 외적 대수 위에서의 자유 모듈러스를 이룬다는 것을 증명한다. 이 공간은 $A = (\bigwedge \mathfrak{g}^* \otimes \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ 로 표기되며, 랭크 $2r$ 의 자유 모듈러스이다. 결과는 대칭 이항형식 $e(-,-)$ 와 차수 $2m_i$ 와 $2m_i-1$ 를 가진 명시적 생성자 $f_i, u_i$ 를 통해 확립되며, 이는 체발리 전이와 루트 시스템 자료를 통해 결정되는 구조 상수를 포함한다.

ABSTRACT

For a simple complex Lie algebra $\mathfrak g$ we study the space of invariants $A=\left( \bigwedge \mathfrak g^*\otimes\mathfrak g^* ight)^{\mathfrak g}$, (which describes the isotypic component of type $\mathfrak g$ in $ \bigwedge \mathfrak g^*$) as a module over the algebra of invariants $\left(\bigwedge \mathfrak g^* ight)^{\mathfrak g}$. As main result we prove that $A$ is a free module, of rank twice the rank of $\mathfrak g$, over the exterior algebra generated by all primitive invariants in $(\bigwedge \mathfrak g^*)^{\mathfrak g}$, with the exception of the one of highest degree.

연구 동기 및 목표

• 외적 대수 $\bigwedge \mathfrak{g}^*$ 에서의 고정 표현의 동형성 성분을 불변 대수 $(\bigwedge \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ 위의 모듈러스로 묘사하는 것.
• $A = (\bigwedge \mathfrak{g}^* \otimes \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ 의 모듈러스 구조를 규명하는 것. 이는 $\mathfrak{g}$-등변 다중선형 반대칭 형식을 $\mathfrak{g}$ 에서 $\mathfrak{g}^*$ 로 분류한다.
• A 가 원시적 불변량의 외적 대수 위에서 자유 모듈러스이자 랭크 $2r$ 를 가짐을 증명하는 것. 이는 대칭 이항형식 $e(-,-)$ 와 명시적 생성자 $f_i, u_i$ 를 사용하며, 체발리 전이와 루트 시스템 자료로 결정되는 구조 상수를 포함한다.
• 구조 상수 $c_{i,j}$ 와 최고 차수의 원시적 불변량 $P_r$ 이 생성자에 작용하는 방식을 전이와 루트 시스템 자료를 포함하는 명시적 공식을 통해 계산하는 것.

제안 방법

• 논문은 $A$ 에 값이 있는 계수 대칭 이항형식 $e(-,-)$ 를 구축하며, 이는 카일링 형식에 의해 유도된 불변 대수 $\Gamma = (\bigwedge \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ 에서 유도된다.
• 각각 차수 $2m_i$ 와 $2m_i - 1$ 을 가진 명시적 생성자 $f_i, u_i \in A$ 를 정의한다. 여기서 $m_i$ 는 루트 시스템의 지표이다.
• 체발리의 전이와 제약 정리에 의해, 형식 $e(-,-)$ 는 카르탕 부분대수 위의 웨일 군 불변 다항식에 값이 있는 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W$-값을 가진 이항형식으로 축소된다.
• 구조 상수 $c_{i,j}$ 는 페어링 $e(f_i, u_j)$ 를 통해 계산되며, 이는 $m_i + m_j - 1 = m_k$ 를 만족하는 지표 $m_k$ 가 존재할 경우에만 비영이 되며, 이 경우 $P_k$ 의 비영인 배수로 나타난다. 그렇지 않으면 영이다.
• 형식 $D_{2n}$ 의 경우, 지표 $m_n = m_{n+1} = 2n-1$ 이므로 지표가 중복되므로 특별한 주의가 필요하다. 이 경우 $e(f_i, u_j)$ 는 $i,j \notin \{n,n+1\}$ 이면 $P_n + P_{n+1}$ 을 포함하고, 특정 쌍에 대해서는 개별적으로 $P_n, P_{n+1}$ 을 포함한다. 특히 $e(f_n, u_{n+1}) = c_{n,n+1} P_{2n}$ 이다.
• 최고 차수의 원시적 불변량 $P_r$ 의 생성자에 대한 작용은 자기수반 곱셈 공식 (1.5) 및 (1.6) 을 통해 묘사되며, 이는 구조 상수의 비율 $c_i c_j^{-1}$ 을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간 $A = (\bigwedge \mathfrak{g}^* \otimes \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ 는 $(\bigwedge \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ 의 원시적 불변량의 외적 대수 위에서 자유 모듈러스인가?
• RQ2 모듈러스를 생성하는 데 사용되는 원시적 불변량의 부분대수(최고 차수의 것을 제외한) 위에서 $A$ 의 랭크와 생성자 집합은 무엇인가?
• RQ3 이항형식 $e(f_i, u_j)$ 의 구조 상수 $c_{i,j}$ 는 루트 시스템과 $\mathfrak{g}$ 의 지표에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 최고 차수의 원시적 불변량 $P_r$ 이 생성자 $f_i, u_i$ 에 작용하는 방식은 무엇인가?
• RQ5 지표가 중복되는 경우, 즉 $\mathfrak{g}$ 가 형식 $D_{2n}$ 인 경우 결과는 어떻게 다를까?

주요 결과

• 공간 $A$ 는 원시적 불변량 $P_1, \ldots, P_{r-1}$ 으로 생성된 외적 대수 위에서 자유 모듈러스이며, 랭크 $2r$ 이다. 명시적 생성자 $f_i, u_i$ 는 각각 차수 $2m_i$ 와 $2m_i - 1$ 을 가진다.
• 이항형식 $e(f_i, u_j)$ 는 $m_i + m_j - 1 = m_k$ 를 만족하는 지표 $m_k$ 가 존재할 경우에만 비영이 되며, 이 경우 $P_k$ 의 비영인 배수로 나타나며, 상수 $c_{i,j}$ 는 정규화에 따라 달라진다.
• 형식 $D_{2n}$ 인 경우, $i,j \notin \{n,n+1\}$ 이면 $e(f_i, u_j)$ 는 $P_n + P_{n+1}$ 을 포함하고, 특정 쌍에 대해서는 $P_n, P_{n+1}$ 을 개별적으로 포함한다. 특히 $e(f_n, u_{n+1}) = c_{n,n+1} P_{2n}$ 이다.
• $P_r$ 의 곱셈은 $e(-,-)$ 에 대해 자기수반이며, 그 작용은 비례 상수의 비율 $c_i c_j^{-1}$ 을 포함하는 재귀 공식 (1.5) 및 (1.6) 으로 묘사된다.
• $E_6$ 에서 $A_2, A_6, A_8$, $E_7$ 과 $E_8$ 에서는 $A_2, A_8, A_{12}$ 의 원시적 불변량에 대한 명시적 공식을 거듭제곱 합과 펄라피안을 사용하여 계산하였다. 스칼라 곱 $(da, db)$ 는 고차 불변량을 정의한다.
• $E_7$ 과 $E_8$ 의 스칼라 곱 관계에서의 상수 $d_{i,j}$ 는 명시적으로 표기되었으며, 비자명한 관계가 드러났다. 예를 들어 $6A_{18} \cong 7A_8 \circ A_{12}$ 와 $A_{14} \circ A_{18} \cong \frac{3}{4}A_{30}$ 이다.