[논문 리뷰] The alchemy of probability distributions: beyond Gram-Charlier expansions, and a skew-kurtotic-normal distribution from a rank transmutation map

WT Shaw, Irc Buckley|ArXiv.org|2009. 01. 05.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 18인용 수 308

한 줄 요약

이 논문은 기저 분포의 누적분포함수(CDF)와 목표 분포의 분위수 함수를 조합하여 유연하고 다룰 수 있는 확률분포를 생성하기 위해 새로운 랭크 변환지도(RTM) 기법을 소개한다. 이 기법은 그람-카르티에 전개의 문제점을 피하기 위해 점근적이지 않은 정확한 변환을 제공함으로써 비대칭성과 첨도를 제어할 수 있으며, 전환 매개변수에 대해 간단한 선형 모멘트 표현을 갖는 비대칭-첨도-정규 분포를 유도할 수 있다.

ABSTRACT

Motivated by the need for parametric families of rich and yet tractable distributions in financial mathematics, both in pricing and risk management settings, but also considering wider statistical applications, we investigate a novel technique for introducing skewness or kurtosis into a symmetric or other distribution. We use a "transmutation" map, which is the functional composition of the cumulative distribution function of one distribution with the inverse cumulative distribution (quantile) function of another. In contrast to the Gram-Charlier approach, this is done without resorting to an asymptotic expansion, and so avoids the pathologies that are often associated with it. Examples of parametric distributions that we can generate in this way include the skew-uniform, skew-exponential, skew-normal, and skew-kurtotic-normal.

연구 동기 및 목표

• 대부분 금융 모델링 및 리스크 관리에 활용되는 대칭 또는 기저 분포에 비대칭성과 첨도를 도입하기 위한 강력하고 비점근적인 방법을 개발하는 것.
• 그람-카르티에 및 코니시-파이어 확장의 한계, 즉 음수 확률밀도함수와 모멘트 수렴 문제를 해결하는 것.
• 분위수 함수와 닫힌형 전환지도를 사용한 다룰 수 있는 시뮬레이션 프레임워크를 제공하는 것.
• 전환 매개변수에 대해 간단하고 선형적인 모멘트 표현을 갖는 새로운 분포 가족—특히 비대칭-첨도-정규 분포—를 도출하는 것.
• 효율적인 샘플링 알고리즘을 통해 몬테카를로 시뮬레이션 및 코프룰라 모델링에 실용적으로 적용할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 기저 분포의 CDF인 $ F_1 $ 과 목표 분포의 CDF인 $ F_2 $ 를 조합하여 정의된 랭크 전환지도(RTM) $ G_{R_{12}}(u) = F_2(F_1^{-1}(u)) $ 를 사용한다.
• 기본적으로 이차 RTM을 사용한다: $ G_{R_{12}}(u) = u + \lambda u(1-u) $, 이는 비대칭성을 도입하고 닫힌형 역함수를 가능하게 한다.
• 고차원 조절을 위해 삼차다항식 RTM이 도입된다: $ P(z, \alpha_1, \alpha_2) = z + \alpha_1 z(1-z) + \alpha_2 z(1-z)^2 $, 이는 비대칭성과 첨도를 동시에 제어할 수 있다.
• 전환된 CDF는 $ F_2(x) = F_1^{-1}(G_{R_{12}}^{-1}(u)) $ 로 구성되며, 기저 분포의 분위수 함수를 사용하여 역변환 샘플링 방식으로 샘플링을 수행한다.
• 모든 파ameter가 밀도가 비음수이자 연속적인 영역에 속하도록 제약을 두어 유효한 확률밀도함수를 보장한다.
• 몬테카를로 샘플링은 삼차방정식 $ P(z, \alpha_1, \alpha_2) = u $ 를 $ z $ 에 대해 풀고, 그 결과를 기저 분포의 분위수 함수에 적용하여 $ X = F_1^{-1}(z) $ 를 얻는 방식으로 수행된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그람-카르티에 또는 코니시-파이어 전개에 의존하지 않고 비점근적이고 정확한 방법을 개발하여 기저 분포에 비대칭성과 첨도를 도입할 수 있는가?
• RQ2 비대칭성과 첨도를 동시에 제어할 수 있는 랭크 전환지도의 수학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 유도된 전환된 분포의 모멘트는 전환 매개변수에 대해 단순하고 닫힌형이며 선형으로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ4 비음수 확률밀도함수를 보장하는 $ (\alpha_1, \alpha_2) $-공간 내 허용 가능한 매개변수 영역은 무엇인가?
• RQ5 기존의 비대칭-정규 및 아자라린 타입 분포와 비교해 볼 때, 제안된 방법은 타당성과 정확성 측면에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 비대칭-첨도-정규 분포는 삼차 랭크 전환지도를 통해 도출되며, 그 CDF는 $ F_2(x) = \phi(x) P'(\Phi(x), \alpha_1, \alpha_2) $ 로 표현되며, 여기서 $ \phi $ 와 $ \Phi $ 는 표준정규분포의 PDF와 CDF이다.
• 비대칭-첨도-정규 분포의 첫 다섯 모멘트는 전환 매개변수 $ \alpha_1 $ 과 $ \alpha_2 $ 에 대한 선형 함수이며, 표 2에 명시된 구체적인 표현이 제공된다.
• 특히 $ \alpha_1 = 1, \alpha_2 = 0 $ 일 때, 전환된 분포는 두 개의 i.i.d. 표준정규변수의 최대값에 해당한다.
• 특히 $ \alpha_1 = 0, \alpha_2 = 1 $ 일 때, 분포는 두 개의 i.i.d. 표준정규변수의 최소값에 해당한다.
• 특정 $ (\alpha_1, \alpha_2) $ 값에 의해 삼개의 i.i.d. 정규분포에서의 최대값, 최소값, 그리고 중앙순서통계량 등 특수한 경우를 성공적으로 생성할 수 있다.
• 허용 가능한 매개변수 영역은 유한하지만 원점 주변에 큰 열린 영역를 포함하고 있어, 중간 정도의 비대칭성과 첨도를 실용적으로 모델링할 수 있다.