[논문 리뷰] The algebra of bi-brackets and regularised multiple Eisenstein series

Henrik Bachmann|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 30.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다중 약수 합을 일반화하는 q-급수의 클래스인 비브라켓을 도입하고, 이를 통해 두 개의 정규화된 다중 아이zen슈타인 급수 G^{\natural}과 G^{\natural}을 구성한다. 이 급수들은 각각 스텀플(product) 및 셔플(product) 곱 관계를 만족한다. 두 급수를 다중 제타 값과 비브라켓의 선형 조합으로 표현함으로써, 낮은 무게에서 다중 아이젠슈타인 급수에 대한 유한 이중 셔플 관계를 유도하며, 이는 이전 결과를 확장하고 q-아날로그 형태의 다중 제타 값에 대한 통합된 대수적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We study the algebra of certain $q$-series, called bi-brackets, whose coefficients are given by weighted sums over partitions. These series incorporate the theory of modular forms for the full modular group as well as the theory of multiple zeta values (MZV) due to their appearance in the Fourier expansion of regularised multiple Eisenstein series. Using the conjugation of partitions we obtain linear relations between bi-brackets, called the partition relations, which yield naturally two different ways of expressing the product of two bi-brackets similar to the stuffle and shuffle product of multiple zeta values. Bi-brackets are generalizations of the generating functions of multiple divisor sums, called brackets, $[s_1,\dots,s_l]$ studied by the author and U. Kühn. We use the algebraic structure of bi-brackets to define further $q$-series $[s_1,\dots,s_l]^{sh}$ and $[s_1,\dots,s_l]^\ast$ which satisfy the shuffle and stuffle product formulas of MZV by using results about quasi-shuffle algebras introduced by Hoffman. In a recent work the author and K. Tasaka defined regularised multiple Eisenstein series $G^{sh}$, by using an explicit connection to the coproduct on formal iterated integrals. These satisfy the shuffle product formula. Applying the same concept for the coproduct on quasi-shuffle algebras enables us to define multiple Eisenstein series $G^\ast$ satisfying the stuffle product. We show that both $G^{sh}$ and $G^\ast$ are given by linear combinations of products of MZV and bi-brackets. Comparing these two regularized multiple Eisenstein series enables us to obtain finite double shuffle relations for multiple Eisenstein series in low weights which extend the relations proven before.

연구 동기 및 목표

• 다중 제타 값과 모듈라 형식을 그들의 푸리에 전개를 통해 통합하는, 비브라켓이라고 불리는 일반화된 q-급수의 클래스를 정의하는 것.
• 스템플 곱 공식과 셔플 곱 공식을 각각 만족하는 두 개의 정규화된 다중 아이젠슈타인 급수 G^{\natural}과 G^{\natural}을 구성함으로써, 수렴 무게를 초월한 고전적 다중 아이젠슈타인 급수(MES)를 확장하는 것.
• 비브라켓을 포함하는 선형 조합을 통해 이러한 정규화된 급수와 다중 제타 값 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 두 정규화된 구성 방식을 비교함으로써, 낮은 무게에서 다중 아이젠슈타인 급수에 대한 유한 이중 셔플 관계를 도출하는 것.
• 셔플 및 스텀플 곱에 유사한 두 가지 곱 연산을 갖는 rich한 대수적 구조를 지닌 q-아날로그 형태의 다중 제타 값의 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 분할의 쌍대성(conjugation)을 이용하여 비브라켓의 대수를 개발함으로써, 다중 제타 값의 셔플 및 스텀플 곱과 유사한 두 가지 서로 다른 곱 연산을 도출한다.
• G^{\natural}과 G^{\natural}의 구성은 준셔플 대수의 코프로덕트(co-product)를 기반으로 하며, [BT]에서 셔플 정규화 급수에 사용된 방법을 확장한다.
• 비브라켓이 두 정규화된 다중 아이젠슈타인 급수의 푸리에 전개에서 나타나는 q-급수 성분을 생성함을 보여준다.
• 저자들은 G^{\natural}과 G^{\natural}을 다중 제타 값과 비브라켓의 곱의 선형 조합으로 표현함으로써 직접 비교할 수 있도록 한다.
• 두 정규화된 급수를 비교함으로써, 낮은 무게에서 새로운 대수적 제약 조건을 드러내는 유한 이중 셔플 관계를 도출한다.
• 자유로운 결합 대수의 대수적 구조를 기반으로 하며, 문자 집합 {x,y}와 {z1,z2,...}에 대해 정의된 셔플 및 스텀플 곱은 표준적인 조합 규칙에 따라 정의된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 아이젠슈타인 급수는 어떻게 정규화되어 수렴 무게 범위를 초월하면서도 대수적 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ2 정규화된 다중 아이젠슈타인 급수의 푸리에 전개에 나타나는 q-급수(비브라켓)의 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 한 프레임워크 안에서 정규화된 다중 아이젠슈타인 급수에 대해 셔플 및 스텀플 곱 관계를 동시에 실현할 수 있는가?
• RQ4 두 정규화된 구성 G^{\natural}과 G^{\natural}을 비교함으로써 어떤 유한 이중 셔플 관계가 도출되는가?
• RQ5 정규화된 다중 아이젠슈타인 급수의 공간 차원이 양자 다중 제타 값의 관련 그레이드 공간의 추측된 차원과 어느 정도 일치하는가?

주요 결과

• 논문은 두 개의 정규화된 다중 아이젠슈타인 급수 G^{\natural}과 G^{\natural}을 구성하였으며, 각각 스텀플 곱 공식과 셔플 곱 공식을 만족함으로써, 고전적 MES를 모든 허용 가능한 인덱스로 확장한다.
• G^{\natural}과 G^{\natural}은 모두 다중 제타 값과 비브라켓의 곱의 선형 조합으로 표현되며, 이는 통합된 대수적 프레임워크를 제공한다.
• 무게 14 이하에서 다중 아이젠슈타인 급수에 대한 유한 이중 셔플 관계를 도출하였으며, 이 관계의 수는 무게 7 이하에서 양자 다중 제타 값 공간의 추측된 차원과 정확히 일치한다.
• 무게 k에 대한 셔플 정규화 다중 아이젠슈타인 급수의 공간은 최소 gen_k - d'_k 차원을 갖는다. 무게 7 이하에서는 등호가 성립할 것이라 추측된다.
• G^{\natural}과 G^{\natural}의 비교를 통해 rds_k 관계만으로는 G^{\natural} 급수 간의 모든 관계를 포괄하지 못하며, 제한된 이중 셔플 관계를 초월한 추가적인 대수적 제약 조건이 존재함을 시사한다.
• 이 논문은 정규화된 셔플 다중 아이젠슈타인 급수의 공간 차원이 양자 다중 제타 값의 gr^W_k(qMZ)에 대한 추측된 차원 d'_k와 일치함을 강력한 증거나로 제시하며, 깊이 있는 대수적 동형관계가 존재할 가능성을 시사한다.