[논문 리뷰] The algebra of non-deterministic programs: demonic operators, orders and axioms

Robin Hirsch, Szabolcs Mikulás외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 25.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 악마적 합성과 개선에 대한 이원관계 대수의 유한 공리화 가능성을 확립하며, 아영적 연산에 대한 Zarecki의 작업을 확장한다. 이는 이러한 대수의 클래스가 순서형 준군으로서 유한 공리화 가능하다는 것을 증명하며, 악마적 및 아영적 연산을 모두 포함하는 혼합 서명의 경우는 그렇지 않음을 보여주며, 대수적 구조 복잡성에서의 핵심적 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

Demonic composition, demonic refinement and demonic union are alternatives to the usual "angelic" composition, angelic refinement (inclusion) and angelic (usual) union defined on binary relations. We first motivate both the angelic and demonic via an analysis of the behaviour of non-deterministic programs, with the angelic associated with partial correctness and demonic with total correctness, both cases emerging from a richer algebraic model of non-deterministic programs incorporating both aspects. Zareckii has shown that the isomorphism class of algebras of binary relations under angelic composition and inclusion is finitely axiomatised as the class of ordered semigroups. The proof can be used to establish that the same axiomatisation applies to binary relations under demonic composition and refinement, and a further modification of the proof can be used to incorporate a zero element representing the empty relation in the angelic case and the full relation in the demonic case. For the signature of angelic composition and union, it is known that no finite axiomatisation exists, and we show the analogous result for demonic composition and demonic union by showing that the same axiomatisation holds for both. We show that the isomorphism class of algebras of binary relations with the "mixed" signature of demonic composition and angelic inclusion has no finite axiomatisation. As a contrast, we show that the isomorphism class of partial algebras of binary relations with the partial operation of constellation product and inclusion (also a "mixed" signature) is finitely axiomatisable.

연구 동기 및 목표

• 아영적 연산 하에서 Zarecki의 순서형 준군에 대한 유한 공리화를 악마적 환경으로 확장한다.
• 악마적 합성과 개선 하에서 이원관계 대수의 동형류가 유한 공리화 가능하게 되는지 조사한다.
• 악마적 및 아영적 연산을 혼합한 서명(예: 악마적 합성과 아영적 포함)의 표현력과 공리화 가능성을 분석한다.
• 구성형 곱과 포함을 포함한 부분 대수의 유한 공리화 가능성을 탐색하며, 전체 관계 대수와 대비한다.
• 악마적 및 아영적 연산 하에서 영원소(공집합 또는 전집관계)를 포함하는 다양한 관계 대수의 상태를 규명한다.

제안 방법

• Zarecki의 순서형 준군에 대한 카일리 유형 표현을 악마적 환경에 맞게 조정하여, 부분 대수와 도메인 조건을 사용한다.
• 전체 정확성 의미론을 보장하기 위해 악마적 합성을 $ s*t = (s;t) \cap \{ (x,y) : s(x) \subseteq \text{dom}(t) \} $ 로 정의한다.
• 악마적 개선 $ s \sqsubseteq t $ 는 $ \text{dom}(t) \subseteq \text{dom}(s) \land s|_{\text{dom}(t)} \subseteq t $ 로 정의되며, 부분 순서를 이룬다.
• 구성형 곱 $ s \cdot t $ 를 도메인 조건 $ \text{ran}(s) \subseteq \text{dom}(t) $ 를 만족할 때만 정의되는 부분 연산으로 도입하여, 악마적 합성을 일반화한다.
• 표현 정리들을 사용하여, 모든 순서형 전구성형이 집합 $ X $ 위의 관계 대수에 임베딩될 수 있음을 보이며, $ 0 $ 이 공집합 관계로 매핑됨을 보장한다.
• 모델 이론 기법을 적용하여, $ (*, \subseteq) $ 와 같은 혼합 서명의 경우 무한한 준등식 가족을 사용해 유한 공리화 불가능성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 악마적 합성과 개선 하에서 이원관계 대수의 클래스는 유한 공리화 가능한가?
• RQ2 악마적 합성과 아영적 포함($ *, \subseteq $)을 포함하는 혼합 서명은 유한 공리화 가능한가?
• RQ3 구성형 곱과 포함($ \cdot, \subseteq $) 하에서 이원관계 부분 대수의 클래스는 유한 공리화 가능한가?
• RQ4 다음 두 다양체의 관계는 무엇이며, 각각은 유한 공리화 가능한가? $ R(*, \sqcup\kern-6.0pt\sqcup, \emptyset) $ 와 $ T(\mathbin{;}, \cup, \nabla) $
• RQ5 클래스 $ VL_0(\mathbin{;}, \cup, \mathbf{0}) $ 는 유한 공리화 가능한가? 그리고 $ VR(\mathbin{;}, \cup, \mathbf{1}') $ 와 비교해보면 어떻게 되는가?

주요 결과

• 악마적 합성과 개선 하에서 이원관계 대수의 동형류는 순서형 준군의 클래스로서 유한 공리화 가능하다.
• 동일한 유한 공리화가 악마적 경우에서 공집합 관계를 나타내는 영원소를 포함하는 대수에도 적용된다.
• 악마적 합성과 아영적 포함을 포함하는 혼합 서명 $ (*, \subseteq) $ 는 무한한 준등식 가족을 통해 증명된 바와 같이 유한 공리화 가능하지 않다.
• 구성형 곱과 포함($ \cdot, \subseteq $) 하에서 이원관계 부분 대수의 클래스는 순서형 전구성형의 클래스로서 유한 공리화 가능하다.
• $ R(*, \sqcup\kern-6.0pt\sqcup, \emptyset) $ 는 $ T(\mathbin{;}, \cup, \nabla) $ 에 포함되지만, 두 클래스의 동치성과 유한 공리화 가능성은 여전히 미해결이다.
• $ R(\mathbin{;}, \cup, \mathbf{0}) $ 는 유한 공리화 가능하지 않으며, $ R(*, \subseteq) $ 역시 마찬가지로 그렇지 않다. 이는 혼합 서명에서 아영적 및 악마적 연산 간의 구조적 비대칭성을 확인한다.