[논문 리뷰] The almost mobility edge in the almost Mathieu equation

Yi Zhang, Daniel Bulmash외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 20.

Quantum and electron transport phenomena인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 작고 비공약적 파동수 $ Q \ll 2\pi $를 가진 거의 마티외 방정식에서, $ V < 2t $ 인 경우 밴드 에지 근처 상태들이 진정으로 확산되어 있지 않으며, 큰 효과 질량을 지닌 지수적으로 좁은 밴드를 이룬다. 이는 자기적 붕괴 효과로 인해 '거의 국소화된' 상태로 행동한다. 이러한 상태들은 원칙적으로 강건하게 확산되어 있지만, 물리적 외란 하에서는 효과적으로 국소화되어 $ E_c = 2t - V $ 에서 효과적인 이동도 경계가 나타나며, 이는 오랫동안 남아있던 국소화-확산 전이의 역설을 해결한다.

ABSTRACT

Harper's equation (aka the "almost Mathieu" equation) famously describes the quantum dynamics of an electron on a one dimensional lattice in the presence of an incommensurate potential with magnitude $V$ and wave number $Q$. It has been proven that all states are delocalized if $V$ is less than a critical value $V_c=2t$ and localized if $V&gt; V_c$. Here, we show that this result (while correct) is highly misleading, at least in the small $Q$ limit. In particular, for $VE_c$, form a set of narrow bands with exponentially small bandwidths $ \sim t\ \exp[-(2πα/Q)]$ (where $α$ is an energy dependent number of order 1) separated by band-gaps $ \sim t Q$. Thus, the states with $|E|&gt; E_c$ are "almost localized" in that they have an exponentially large effective mass and are easily localized by small perturbations. We establish this both using exact numerical solution of the problem, and by exploiting the well known fact that the same eigenvalue problem arises in the Hofstadter problem of an electron moving on a 2D lattice in the presence of a magnetic field, $B=Q/2π$. From the 2D perspective, the almost localized states are simply the Landau levels associated with semiclassical precession around closed contours of constant quasiparticle energy; that they are not truly localized reflects an extremely subtle form of magnetic breakdown.

연구 동기 및 목표

• 모든 상태가 확산되어 있음이 알려져 있음에도 불구하고 수치적 관측에서 밴드 에지 근처에서 국소화된 행동을 보이는 데 대한 명백한 모순을 해결하기 위해.
• 작은 $ Q $ 근처에서 $ |E| > E_c $ 인 상태의 물리적 성질을 명확히 하여, 이들이 진정으로 국소화된 것이 아니라 지수적으로 작은 밴드폭으로 인해 '거의 국소화된' 상태임을 보여주기 위해.
• 수치적 및 2차원 호프스타터 모델의 관점에서 $ V < 2t $ 인 경우 $ E_c = 2t - V $ 에서 효과적인 이동도 경계의 존재를 확립하기 위해.
• 반고전적 분석이 계산 가능한 자기적 붕괴 효과로 인해 붕괴됨을 보여주며, 이로 인해 효과 질량이 큰 지수적으로 좁은 밴드가 나타남을 설명하기 위해.
• 거의 마티외 방정식의 자가 dual 성질과 유한 해상도 실험에서의 물리적 관측 가능성 간의 조화를 이루기 위해.

제안 방법

• 고정밀도로 하르퍼 방정식 해밀토니안을 수치적으로 대각화하여 고유상태의 국소화 성질을 규명하기 위해.
• 일차원 하르퍼 방정식을 자기장 스트림 $ B = Q/2\pi $ 를 가진 2차원 호프스타터 문제로 매핑하여 랑주 단위 물리학을 통한 분석을 가능하게 하기 위해.
• 호프스타터 모델에 반고전적 분석을 적용하여 일정한 준입자 에너지의 닫힌 윤곽선을 식별하며, 이는 랑주 수준에 해당함을 보여주기 위해.
• 거의 마티외 방정식의 자가 dual 성질을 활용하여 약한 잠재력($ V < 2t $)과 강한 잠재력($ V > 2t $) 영역를 연결하기 위해.
• 밴드폭 스케일링에서 유도된 $ m^* \sim t^{-1} \exp[(2\alpha\pi/Q)] $, 여기서 $ \alpha \sim \mathcal{O}(1) $ 이며, 거의 국소화된 상태의 효과 질량을 유도하기 위해.
• 간격과 국소화 길이의 펌프론 구조를 분석하여, 이들이 유한 해상도에서 관측 불가능할 정도로 지수적으로 작다는 것을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 $ V < 2t $ 인 경우에도 수치적 연구에서 밴드 에지 근처에서 국소화된 행동이 관측되는가? 이는 모든 상태가 확산되어 있음이 알려져 있음에도 불구하고.
• RQ2 작은 $ Q $ 근처에서 $ E_c = 2t - V $ 에서 관측되는 명백한 이동도 경계의 물리적 기원은 무엇인가?
• RQ3 원칙적으로 확산되어 있음에도 불구하고 물리적 외란 하에서 효과적으로 국소화된 행동을 보이는 $ |E| > E_c $ 인 상태는 어떻게 설명할 수 있는가?
• RQ4 자기적 붕괴는 밴드 에지 근처 상태의 미세한 확산에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 2차원 호프스타터 모델의 관점에서 지수적으로 작은 밴드폭을 지닌 좁은 밴드가 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 작은 $ Q \ll 2\pi $ 인 경우 $ V < 2t $ 이면, $ |E| > E_c = 2t - V $ 인 상태들은 밴드폭이 $ \sim t \exp[-(2\pi\alpha/Q)] $ 인 지수적으로 좁은 밴드를 이룬다. 여기서 $ \alpha \sim \mathcal{O}(1) $ 이다.
• 이러한 상태들은 효과 질량 $ m^* \sim t^{-1} \exp[(2\alpha\pi/Q)] $ 을 지녀, 작은 외란에 의해 국소화되기 쉬운 편이다.
• 이 상태들은 진정으로 국소화된 것이 아니며, 2차원 호프스타터 그림에서의 미세한 자기적 붕괴 형태로 인해 '거의 국소화된' 상태이다.
• 명백한 이동도 경계 $ E_c = 2t - V $ 는 진정한 이동도 경계가 아니라, 유한한 에너지 해상도와 시스템 크기로 인해 발생하는 효과적인 물리적 현상이다.
• 약한 잠재력($ V < 2t $)과 강한 잠재력($ V > 2t $) 영역 간의 이중성은 $ V > 2t $ 인 경우 $ E_c = V - 2t $ 에서의 전이에 대응하며, 이는 실공간의 페르미 표면의 출현과 관련이 있다.
• 시스템에서의 단지 펮핑은 $ n $ 개의 랑주 수준이 채워질 때 단위 세포당 $ n $ 개의 전자를 운반하며, 이는 모델이 양자 홀 효과와 와이울 반도체와 연결됨을 보여준다.