[논문 리뷰] The almost sure invariance principle for unbounded functions of expanding maps

Jérôme Dedecker, Sébastien Gouëzel외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 26.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 종류의 일차원 확장 맵인 BV에서 스펙트럼 갭이 있는 균일하게 확장되는 맵과 영점에서 중립 고정점을 가진 맵에 대해, 약한 정규성 조건 하에 $L^2$-노름에서 유계가 아닌 관측량에 대해 오차율 $o(\sqrt{n\ln\ln n})$을 갖는 거의 확실한 불변성 원리를 수립한다. 근사 기법과 최대부등식을 결합하여, 이전 방법이 균일 적분 가능성이 부족하여 실패한 임계 $L^2$ 경계 경우에까지 불변성 원리를 확장한다.

ABSTRACT

We consider two classes of piecewise expanding maps $T$ of $[0,1]$: a class of uniformly expanding maps for which the Perron-Frobenius operator has a spectral gap in the space of bounded variation functions, and a class of expanding maps with a neutral fixed point at zero. In both cases, we give a large class of unbounded functions $f$ for which the partial sums of $f\\circ T^i$ satisfy an almost sure invariance principle. This class contains piecewise monotonic functions (with a finite number of branches) such that: - For uniformly expanding maps, they are square integrable with respect to the absolutely continuous invariant probability measure. - For maps having a neutral fixed point at zero, they satisfy an (optimal) tail condition with respect to the absolutely continuous invariant probability measure.

연구 동기 및 목표

• 조각별로 확장되는 맵에 대해 임계 $L^2$-경계 경우에서 유계가 아닌 함수에 대해 거의 확실한 불변성 원리를 수립하는 것.
• 관측량이 오직 제곱적분 가능할 경우 오차율 $o(\sqrt{n\ln\ln n})$로 불변성 원리가 성립하는지 여부라는 열린 문제를 해결하는 것.
• 이전의 강한 불변성 원리 결과를 $L^p$-적분 가능 관측량($p>2$)에서 임계 $L^2$-경계 경우로 확장하는 것.
• 좋은 적분 가능성을 지닌 함수에서 $L^2$-경계 경우로 결과를 전이하기 위한 일반적인 방법을 제공하는 것 — 근사와 최대부등식 기반

제안 방법

• $L^2$-관측량 $f$를 더 좋은 적분 가능성을 지닌 유계이면서 조각별 단조인 함수의 수열 $\bar{f}_m$로 근사하는 것.
• 메르레베드와 리오(2012)에 의해 $L^p$-적분 가능성($p>2$) 조건 하에서 $\bar{f}_m$에 대해 증명된 거의 확실한 불변성 원리를 사용하는 것.
• 부분합 과정에서 $f$와 $\bar{f}_m$의 차이를 제어하기 위해 최대부등식과 커플링 추론을 적용하는 것.
• 잔여항 $g_m = f - \bar{f}_m$에 대해 유계 반복 로그 법칙(BLIL)을 활용하여 불변성 원리의 오차를 제어하는 것.
• 유계 변동 함수 공간에서의 스펙트럼 갭 추정치를 활용하여 $g \in \text{Mon}^c_2(M,\nu)$에 대해 $\|K^n(g) - \nu(g)\|_{L^2}$ 의 감쇠를 제어하는 것.
• $\sigma^2(g_m) \to 0$ 를 증명함으로써 $\sigma_m^2 \to \sigma^2$ 의 수렴을 확보하고, $\phi_{1,\mathbf{Y}}(n)$ 의 지수 감쇠를 이용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BV에서 스펙트럼 갭이 있는 균일하게 확장되는 맵에 대해 $L^2$-관측량에 대해 오차율 $o(\sqrt{n\ln\ln n})$을 갖는 거의 확실한 불변성 원리가 성립하는가?
• RQ2 영점에서 중립 고정점을 가진 맵에 대해 $L^2$-관측량이 불변 측도에 대해 최적의 尾 조건을 만족할 경우 거의 확실한 불변성 원리가 성립하는가?
• RQ3 균일 적분 가능성이 성립하지 않을 경우 근사와 최대부등식 기법을 사용하여 $L^2$-경계 경우를 다룰 수 있는가?
• RQ4 유계 반복 로그 법칙이 근사 함수에서 원래 $L^2$ 관측량으로의 불변성 원리 전이에 충분한가?
• RQ5 제한 브라운 운동의 분산은 근사 과정의 분산 수열의 극한으로 복원될 수 있는가?

주요 결과

• BV에서 스펙트럼 갭이 있는 균일하게 확장되는 맵에 대해 모든 $f \in L^2(\nu)$ 에 대해 오차율 $o(\sqrt{n\ln\ln n})$을 갖는 거의 확실한 불변성 원리가 성립한다.
• 영점에서 중립 고정점을 가진 맵에 대해, 불변 측도에 대해 최적의 尾 조건을 만족하는 모든 $f \in L^2(\nu)$ 에 대해 불변성 원리가 성립한다.
• 균일하게 확장되는 맵에서 $L^2$ 관측량에 대해 유계 반복 로그 법칙이 확립되었으며, 이는 증명의 핵심 요소이다.
• 제한 브라운 운동의 분산은 근사 과정의 분산 수열의 $L^2$-극한이며, 이 수렴은 $\phi_{1,\mathbf{Y}}(n)$ 의 지수 감쇠로 보장된다.
• 근사와 최대부등식 기반의 방법은 잘 행동하는 함수의 밀도 있는 클래스에서 전체 $L^2$-경계 경우로 불변성 원리를 성공적으로 전이한다.
• 증명은 페르로-프로베니우스 연산자의 스펙트럼 갭과 $\phi$-혼합 계수의 지수 감쇠에 의존하며, 이는 $L^2$에서의 고르딘 유형 급수의 수렴을 보장한다.