[논문 리뷰] The almost sure limits of the minimal position and the additive martingale in a branching random walk

Yueyun Hu|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|2012. 11. 22.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계 경우에서 분할 랜덤 워크의 최소 위치의 거의 확실한 하한과 추가 마르تين갈의 상한을 특성화하기 위한 적분 테스트를 수립한다. Aïdékon과 Shi의 기법을 사용하여, 최소 위치의 liminf에서 1/2 log n을 뺀 값이 거의 확실하게 -log log n임을 증명하고, 추가 마르틴갈의 감쇠 속도에 대한 정밀한 적분 기준을 도출한다.

ABSTRACT

Consider a real-valued branching random walk in the boundary case. Using the techniques developed by Aïdékon and Shi [5], we give two integral tests which describe respectively the lower limits for the minimal position and the upper limits for the associated additive martingale.

연구 동기 및 목표

• 분할 랜덤 워크의 경계 경우에서 최소 위치의 거의 확실한 하한을 특성화하기 위해.
• 경계 경우에서 추가 마르틴갈의 감쇠 속도에 대한 적분 테스트를 도출하기 위해.
• 최소 위치에서 1/2 log n을 뺀 값의 liminf가 어떤 결정적 수열에 의해 아래로 유계일 수 있는지 여부라는 열린 문제를 해결하기 위해.
• Seneta-Heyde 정규화를 통해 추가 마르틴갈의 수렴 속도의 정확한 비율을 확립하기 위해.
• 마르틴갈 기법과 크기-편향 측도를 사용하여 최소 위치 및 추가 마르틴갈의 변동 행동을 확장하기 위해.

제안 방법

• 경계 경우에서 분할 랜덤 워크를 분석하기 위해 크기-편향 마르틴갈 측도와 스파인 분해 기법을 적용한다.
• 추가 마르틴갈 $ W_n $의 행동을 제어하기 위해 도함수 마르틴갈 $ D_n $ 및 그 극한 $ D_ au $ 를 사용한다.
• $ \bbQ^{(\theta)} $를 통한 측도 변화를 사용하여 $ \frac{\tilde{W}_n^{(\theta)}}{D_n^{(\theta)}} $ 의 渐近 행동을 연구한다. 여기서 $ \tilde{W}_n^{(\theta)} $ 는 $ W_n $ 의 크기-편향된 형태이다.
• 두드러진 $ L^2 $-부등식과 분산 상한을 적용하여, $ \bbQ^{(\theta)} $ 하에서 $ \frac{\tilde{W}_n^{(\theta)}}{D_n^{(\theta)}} $ 가 상수 $ \theta $ 로 거의 확실하게 수렴함을 증명한다.
• 특정 적분 기준, 즉 $ \frac{1}{t \text{exp}(f(t))} $ 를 포함하여, $ \bbP^*(\bbM_n - \frac{1}{2}\text{log}\thinspace n < -f(n) \text{ i.o.}) $ 가 0 또는 1이 되는지 여부를 판단하기 위한 정밀한 적분 테스트를 유도한다.
• 희귀 사건의 하측 尾부 확률을 제어하기 위해 Borel-Cantelli 추론과 지수 모멘트 추정을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 랜덤 워크의 경계 경우에서 $ \bbM_n - \frac{1}{2}\text{log}\thinspace n $ 의 정확한 거의 확실한 하한은 무엇인가요?
• RQ2 어떤 결정적 수열 $ f(n) $ 이 존재하여 $ \bbP^*(\bbM_n - \frac{1}{2}\text{log}\thinspace n < -f(n) \text{ i.o.}) $ 가 0 또는 1이 되는가요?
• RQ3 추가 마르틴갈 $ W_n $ 의 정확한 수렴 속도는 무엇이며, 도함수 마르틴갈 $ D_n $ 을 통해 정규화할 수 있는가요?
• RQ4 스파인 분해와 크기-편향 측도를 통해 추가 마르틴갈의 행동은 최소 위치와 어떻게 관련이 있나요?
• RQ5 최소 위치가 $ -f(n) $ 이하로 무한히 떨어지는지를 결정하는 적분 조건은 무엇인가요?

주요 결과

• 최소 위치의 liminf는 거의 확실하게 $ -\text{log}\thinspace\text{log}\thinspace n $ 이다. 즉, $ \bbP^*\text{-a.s.} \\text{liminf}_{n\to\infty} \frac{1}{\text{log}\thinspace\text{log}\thinspace n} \big( \bbM_n - \tfrac{1}{2}\text{log}\thinspace n \big) = -1 $.
• 최소 위치가 $ -f(n) $ 이하로 무한히 떨어지는지 여부를 결정하는 적분 테스트가 존재한다: $ \bbP^*(\text{event i.o.}) = 1 $ 이다. $ \textstyle\bigintsss^\infty \frac{dt}{t\text{exp}(f(t))} = \infty $ 이면.
• 추가 마르틴갈 $ W_n $ 는 $ \bbP^*\text{-a.s.} \\text{liminf}_{n\to\infty} \frac{\text{log}\thinspace W_n}{\text{log}\thinspace n} = -\frac{1}{2} $ 를 만족하며, $ \bbP^*\text{-a.s.} \\text{liminf}_{n\to\infty} \frac{1}{\text{log}\thinspace\text{log}\thinspace n} \text{log}\thinspace W_n = -\frac{1}{2} $ 이다.
• 크기-편향 측도 $ \bbQ^{(\theta)} $ 하에서 $ \frac{\tilde{W}_n^{(\theta)}}{D_n^{(\theta)}} \to \theta $ 거의 확실하게 수렴한다. 여기서 $ \theta $ 는 도함수 마르틴갈을 통해 정의된 양수 상수이다.
• $ \frac{\tilde{W}_n^{(\theta)}}{D_n^{(\theta)}} $ 의 분산은 $ n^{-\theta_2} $ 의 다항식 속도로 감소하므로, Borel-Cantelli 보조정리를 사용하여 거의 확실한 수렴을 증명할 수 있다.
• 결과는 최소 위치가 $ \text{log}\thinspace\text{log}\thinspace n $ 척도에서 변동함을 확인하며, 추가 마르틴갈은 $ \text{log}\thinspace\text{log}\thinspace n $ 에 의해 결정되는 속도로 감쇠함을 보여주며, 정밀한 확률적 임계값은 적분 테스트를 통해 제공된다.