[논문 리뷰] The Amemiya-Ando conjecture falls

Adam Paszkiewicz|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 15.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 3인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 힐버트 공간에서 임의의 유한한 수의 5개의 정사영의 곱이 어떤 벡터에 대해 노름에서 발산할 수 있음을 증명함으로써 아메미야-안도 추측을 해결한다. 증명은 보조 벡터를 고정된 2차원 부분공간과 수직인 방식으로 유니터리 회전을 사용하여 정사영의 수열을 구성하고, 반복적 근사 기법을 통해 노름 발산을 보여주며, 오랫동안 남아있던 이러한 곱이 항상 강한 수렴을 이룬다는 추측을 반증한다.

ABSTRACT

In any infinite dimensional Hilbert space H, a sequence P_n...P_1 x diverges in norm for some x \in H and orthogonal projections P_n \in {Q_1,..., Q_5}.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 공간에서 유한한 수의 정사영 집합으로부터의 정사영 곱이 항상 강한 수렴을 한다는 가정을 검토하는 것.
• 두 개 이상의 정사영 곱에 대해 일반적으로 노름 수렴이 성립하지 않음을 보여주는 것, 즉 정사영이 상호수직이면서도 유한한 수일지라도.
• 무한차원 힐버트 공간에서 초기 벡터에 대해 정사영 곱이 노름에서 발산하는 명시적 반례를 구성하는 것.
• 오직 다섯 개의 정사영만으로도 추측이 성립하지 않음을 보여주어 오랫동안 열려있던 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 고정된 2차원 부분공간과 수직인 보조 벡터에 대해 유니터리 변환을 사용하여 $ \dim(P_s - P_{s-1}) = 1 $ 인 중첩 정사영 수열 $ P_0 \leq \dots \leq P_r $ 을 구성한다.
• 고정된 2차원 정사영 $ E = \hat{e} + \hat{e}' $ 의 수직보조공간에서 벡터를 회전시키는 유니터리 연산자 $ U_s $ 를 활용하여 반복 정사영의 극한 행동을 제어한다.
• 핵심 항등식 $ (E U_s P U_s^* E)^n \to \hat{f}_s $ 를 사용하여 $ n \to \infty $ 이면서 $ \delta_s \to 0 $ 일 때, $ E $ 내부에서 임의의 일차원 정사영을 근사할 수 있다.
• 레마 1을 적용하여 더 큰 집합의 정사영 곱을 사용해 2차원 부분공간 내에서 유한한 일차원 정사영의 수열을 근사한다.
• 서로 수직인 부분공간 $ F_i $ 들로 힐버트 공간을 타일링하여 각각이 특정 방향의 성분을 증폭시키는 단항식을 지닌다.
• 서로소 부분공간에서 번갈아가며 단항식 $ A_{2k}(P,Q,E) $ 와 $ A_{2k+1}(R,S,E) $ 를 조합하여 유계이지만 수렴하지 않는 성분을 지닌 벡터 수열을 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 힐버트 공간에서 유한한 수의 정사영 집합으로부터의 정사영 곱은 항상 노름에서 수렴하는가?
• RQ2 5개의 정사영으로부터의 정사영 수열이 어떤 초기 벡터에 대해 노름에서 발산할 수 있는가?
• RQ3 정사영 곱이 강한 수렴을 한다는 아메미야-안도 추측이 무한차원 힐버트 공간에서 유효한가?
• RQ4 무한차원 힐버트 공간에서 노름 발산을 달성하기 위해 필요한 최소 정사영 수는 얼마인가?

주요 결과

• 아메미야-안도 추측은 잘못되었음: 임의의 무한차원 힐버트 공간에서 $ Q_1, \dots, Q_5 $ 와 같이 5개의 정사영이 존재하여 어떤 $ x \in H $ 에 대해 $ P_n \dots P_1 x $ 가 노름에서 발산한다.
• $ \epsilon > 0 $ 에 대해, $ \dim(P_s - P_{s-1}) = 1 $ 인 정사영 수열 $ P_0 \leq \dots \leq P_r $ 이 존재하여 $ \| (E P_s E)^{n(s)} - \hat{f}_s \| < \epsilon $ 를 만족함으로써 2차원 부분공간 내에서 유한한 일차원 정사영 수열을 근사할 수 있다.
• 구성법에 의해 $ \| (E (P Q P)^{m(s)} E)^{n(s)} - \hat{f}_s \| < \epsilon $ 가 성립함을 보여, 세 개의 정사영에서 유도된 단항식이 2차원 부분공간 내에서 임의의 일차원 정사영을 시뮬레이션할 수 있음을 증명한다.
• 서로 수직인 부분공간 $ F_i $ 들로 공간을 타일링하여 각각이 성분을 인덱스 $ \eta_i > 1 - \epsilon_i $ 만큼 증폭시키는 단항식을 지닌다. 이에 따라 곱 수열은 영이 아닌 성분을 누적시키며, 결과적으로 노름 발산을 초래한다.
• 수열 $ A_{2k}(P,Q,E) A_{2k-1}(R,S,E) \dots A_1(R,S,E) e_1 $ 의 성분은 $ \langle x_{2k}, e_{2k+1} \rangle = \eta_1 \dots \eta_{2k} $ 이며, $ \prod \eta_i > 0 $ 이므로 이 수열은 노름에서 수렴하지 않는다.
• 반례는 오직 다섯 개의 정사영만을 사용한다: $ \{P, Q, R, S, E\} $, 여기서 $ E = \sum \hat{e}_i $ 이며, 다섯 개의 정사영으로도 노름 수렴이 깨질 수 있음을 보여준다.