[논문 리뷰] The Approach of Turbulence to the Locally Homogeneous Asymptote as Studied using Exact Structure-Function Equations

R. J. Hill|ArXiv.org|2002. 06. 12.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 32인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 국소 균일성에 접근하는 고 레이놀즈 수 난류에서, 근사치 없이 나비에-스토크스 방정식과 비압축성 조건에서 정확한 구조-기능 방정식을 유도한다. 공간, 시간, 집단 평균을 사용하여 유도한다. 주요 기여는 제3차 구조 함수의 트레이스가 관성 영역 스케일링 법칙을 정량화하는 데 있어 뛰어나다는 것을 드러내는 트레이스 표현법이다. 에너지 소산률은 평균화나 등방성 가정 없이도 나타난다.

ABSTRACT

Equations that follow from the Navier-Stokes equation and incompressibility but with no other approximations are called "exact" here. Exact equations relating 2nd and 3rd-order structure functions are obtained, as is an exact incompressibility condition on the 2nd-order velocity structure function. Ensemble, temporal, and spatial averages are all considered because they produce different statistical equations. Exact equations have particularly simple forms for the cases of an average over a sphere in r-space as well as DNS that has periodic boundary conditions. The trace mitigates the effect of anisotropy in the equations, thereby revealing that the trace of the third-order structure function is expected to be superior for quantifying asymptotic scaling laws. The midpoint and the difference of the two points at which the hydrodynamic quantities are obtained are X and r; t is time. Dependencies on X and on the orientation of r and on t fade as the asymptotic statistical states of local homogeneity, local isotropy, and local stationarity, respectively, are approached. The exact equations are thus applicable to study of the approach toward those asymptotic states. A new definition of local homogeneity is contrasted with previous definitions. The approach toward the asymptotic state of local homogeneity is studied by using scale analysis to determine the required approximations and the approximate equations pertaining to experiments and simulations of the small-scale structure of high-Reynolds-number turbulence, but without invoking local isotropy. Those equations differ from equations for homogeneous turbulence.

연구 동기 및 목표

• 나비에-스토크스 방정식과 비압축성 조건을 사용하여 속도 및 압력 기울기의 구조 함수에 대한 정확하고 비퍼트루베이션 방정식을 유도한다.
• 중점 위치 X와 분리 벡터 r에 대한 명시적 의존성을 유지하여 난류에서 국소 균일성에 접근하는 것을 연구할 수 있도록 한다.
• 폐쇄 근사치에 의존하지 않고 직접 수치 시뮬레이션(DNS)과 실험에서 구조-기능 방정식을 평가할 수 있는 프레임워크를 제공한다.
• 에너지 소산률과 비압축성 조건이 정확한 방정식에서 수행하는 역할을 명확히 하며, 국소 등방성 조건이 없는 경우에도 이를 다룬다.
• 제3차 구조 함수의 트레이스를 보다 우수한 관측량으로 식별함으로써 스케일링 법칙 추정의 정확도를 향상시킨다.

제안 방법

• 미분 연산자 항등식과 변수 치환(X, r, t)을 사용하여 공간 및 시간에 대한 전체 의존성을 유지하는 정확한 방정식을 도출한다.
• 세 가지 유형의 평균—집단 평균, 시간 평균, 공간 평균—을 적용하여 이론, 실험, 시뮬레이션에 각각 적용 가능한 통계적 방정식을 도출한다.
• r-공간에서의 구형 평균을 도입하여 방정식을 단순화하고 이방성 효과를 완화시켜 방향에 따라 평균화된 구조 함수를 도출한다.
• 척도 분석을 사용하여 소규모, 고 레이놀즈 수 난류에 대해 유효한 근사 방정식을 유도하며, 국소 등방성 조건을 가정하지 않는다.
• 제2차 구조 함수에 대한 정확한 비압축성 조건을 도출하며, 이는 대규모 흐름의 비균일성으로 인해 작은 r에서 비영이 되는 것을 보여준다.
• 제3차 구조 함수의 트레이스를 정식화하여 에너지 소산률이 평균화나 등방성 조건 없이도 명시적으로 포함됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 등방성과 같은 가정 없이 나비에-스토크스 방정식에서 정확한 구조-기능 방정식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 중점 위치 X에 대한 의존성이 무시될 수 있는 조건은 무엇이며, 이는 국소 균일성의 시작을 시사하는가?
• RQ3 제3차 구조 함수의 트레이스는 관성 영역 스케일링 법칙을 드러내는 데 다른 성분과 어떻게 다를까?
• RQ4 r-공간에서의 구형 평균은 방정식을 어떻게 단순화하고 이방성의 영향을 어떻게 줄이는가?
• RQ5 에너지 소산률은 정확한 방정식에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 왜 평균화나 등방성 가정 없이도 나타나는가?

주요 결과

• 제3차 구조 함수의 정확한 트레이스 방정식은 평균화나 국소 등방성 조건 없이도 에너지 소산률을 명시적으로 포함하며, 이는 이전의 수식보다 뚜렷한 개선이다.
• r-공간에서의 구형 평균은 구조-기능 방정식을 단순화하고 이방성을 완화시켜 제3차 구조 함수의 트레이스를 관성 영역 스케일링에 대해 더 나은 관측량으로 만든다.
• 제2차 구조 함수에 대한 정확한 비압축성 조건이 도출되었으며, 이는 대규모 스케일의 비균일성으로 인해 작은 r에서 비영임을 보여준다.
• 척도 분석을 통해 평균 속도 기울기와 시간 도함수를 포함하는 항들을 국소 균일성에 접근하는 동안 유지해야 하며, 이는 일부 일반적인 근사치가 잘못되었음을 시사한다.
• 형식론에 의해 모든 비균일성 효과가 내재되어 있으므로, 비균일성에 대한 수단적 보정 항을 도출할 필요가 없어진다.
• 이 방법은 직접 수치 시뮬레이션(DNS)과 실험에서 구조-기능 방정식을 평가할 수 있게 하여, 이전의 국소 등방성 가정이나 경험적 보정에 의존하는 방법보다 더 정확한 스케일링 법칙 검증을 가능하게 한다.