[논문 리뷰] The approach to equilibrium in a macroscopic quantum system for a typical nonequilibrium subspace

Sheldon Goldstein, Takashi Hara외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 14.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 거대한 양자 시스템에서 일반적인 비평형 부분공간이 무작연성 부분공간의 통계적 성질과 무작위 사영 행렬의 하다르드 곱을 통해 빠른 열역학적 평형에 도달함을 증명한다. 이는 봄홀츠만 시간 $ au_{ m B} = h/(k_{ m B}T)$의 주기로 이루어지며, 이는 일반적인 열역학적 평형에 도달하는 것이 특별한 구조적 조건이 아닌 일반적인 현상임을 시사한다.

ABSTRACT

We study the problem of the approach to equilibrium in a macroscopic quantum system in an abstract setting. We prove that, for a typical choice of "nonequilibrium subspace", any initial state (from the energy shell) thermalizes, and in fact does so very quickly, on the order of the Boltzmann time $\ au__\\mathrm{B}:=h/(k_\\mathrm{B}T)$. This apparently unrealistic, but mathematically rigorous, conclusion has the important physical implication that the moderately slow decay observed in reality is not typical in the present setting. The fact that macroscopic systems approach thermal equilibrium may seem puzzling, for example, because it may seem to conflict with the time-reversibility of the microscopic dynamics. According the present result, what needs to be explained is, not that macroscopic systems approach equilibrium, but that they do so slowly. Mathematically our result is based on an interesting property of the maximum eigenvalue of the Hadamard product of a positive semi-definite matrix and a random projection matrix. The recent exact formula by Collins for the integral with respect to the Haar measure of the unitary group plays an essential role in our proof.

연구 동기 및 목표

• 고립된 거대한 양자 시스템에서 일반적인 조건 하에 열역학적 평형에 도달하는 데 걸리는 시간 척도를 이해하기 위해.
• 양자 역학적 동역학이 시간에 대해 대칭임에도 불구하고 거대한 시스템이 일반적으로 왜 느리게 평형에 도달하는지 조사하기 위해.
• 양자 통계역학의 추상적 프레임워크에서 느린 회복이 일반적인지 아니면 예외적인지를 규명하기 위해.
• 비평형 부분공간의 선택이 평형 도달 시간에 미치는 영향을 분석하기 위해.
• 무작위 행렬 이론과 군 적분을 사용하여 일반적인 비평형 부분공간에 대해 빠른 열역학적 평형이 일반적인 현상임을 입증하기 위해.

제안 방법

• 에너지 셸프 $\mathcal{H}$ 내의 $d$차원 비평형 부분공간 $\mathcal{H}_{\rm neq}$에 대한 시간에 따라 진화한 상태의 정사영의 감쇠로 평형 도달 과정을 기술한다.
• 일반적인 부분공간의 통계적 행동을 모델링하기 위해 양의 준정적 행렬과 무작위 사영 행렬의 하다르드 곱을 사용한다.
• 콜린스의 정확한 공식을 적용하여 하어 측도에 대한 유니터리 군 적분의 기대값을 계산한다.
• 대칭군 이론의 조합적 도구, 특히 순환 분해와 순열 항등식을 사용하여 행렬 적분을 근사한다.
• 무작위 부분공간의 스펙트럼 성질을 활용하여 시간에 따른 $\mathcal{H}_{\rm neq}$에 대한 정사영의 기대값에 대한 정밀한 점근적 추정치를 유도한다.
• 일반적인 부분공간에 대해 회복 시간이 $\tau_{\rm B} = h/(k_{\rm B}T)$ 이하로 제한됨을 입증하며, 이는 시스템 크기나 $d$에 관계없이 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실제 거대한 시스템에서 관측되는 평형에 도달하는 데 느린 속도는 이 추상적 양자역학적 프레임워크에서 일반적인가?
• RQ2 초기 상태가 일반적인 비평형 부분공간에 위치할 경우 열역학적 평형에 도달하는 데 일반적인 시간 척도는 무엇인가?
• RQ3 비평형 부분공간의 선택이 거대한 양자 시스템에서의 회복 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 일부 모델에서 관측된 빠른 평형 도달 현상은 일반적인 부분공간의 특성으로 설명될 수 있는가?
• RQ5 무작위 행렬 성질과 대칭군 적분은 평형 도달 시간을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 일반적인 $d$차원 비평형 부분공간 $\mathcal{H}_{\rm neq}$에 대해, 에너지 셸프 $\mathcal{H}$ 내의 임의의 초기 상태는 봄홀츠만 시간 $\tau_{\rm B} = h/(k_{\rm B}T)$ 이내에 빠르게 열역학적 평형에 도달한다.
• 일반적인 부분공간에 대해 회복 시간은 $\mathcal{H}_{\rm neq}$의 차원 $d$나 $\mathcal{H}$의 총 차원 $D$에 관계없이 $\tau_{\rm B}$ 이하로 제한된다.
• 이 결과는 자연계에서 관측되는 느린 평형 도달가 이 추상적 설정에서 일반적인 것이 아니며, 특별한 구조적 특성에 기인한 예외적인 현상임을 시사한다.
• 이 증명은 콜린스의 공식을 유니터리 군 적분에 새롭게 적용하고, 대칭군 $\mathfrak{S}_n$과 관련된 조합적 항등식을 활용한다.
• 양의 준정적 행렬과 무작위 사영 행렬의 하다르드 곱의 최대 고유값이 급격히 감쇠됨을 보여, 이는 빠른 열역학적 평형의 기초가 된다.
• 분석 결과, $\langle \varphi(t), \hat{P}_{\rm neq} \varphi(t) \rangle$의 기대값이 $\tau_{\rm B}$ 주기 내에서 무시할 만큼 작아지며, 이는 평형에 도달함을 나타낸다.