[논문 리뷰] The area rule for circulation in three-dimensional turbulence

Kartik P. Iyer, Sachin S. Bharadwaj외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 13.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 3차원 난류에서 영역 규칙( Area Rule)을 조사하며, 폐쇄된 고리 주위의 순환의 확률밀도함수(PDF)가 고리의 형태가 아니라 고리에 의해 둘러싸인 최소 표면적에만 의존한다는 것을 제안한다. 고해상도 직접 수치 시뮬레이션(DNS)과 가우시안 랜덤 필드(GRF) 비교를 통해, 정규화된 순환 모멘트가 고리 형상에 관계없이 거의 보편적이며, 이격도는 5% 미만임을 보여주어 영역 규칙이 고차 통계에 대해 강건함을 입증하고, 최소 표면적이 난류 역학의 중심에 있음을 강조한다.

ABSTRACT

An important idea underlying a plausible dynamical theory of circulation in three-dimensional turbulence is the so-called Area Rule, according to which the probability density function (PDF) of the circulation around closed loops depends only on the minimal area of the loop, not its shape. We assess the robustness of the Area Rule, for both planar and non-planar loops, using high-resolution data from Direct Numerical Simulations. For planar loops, the circulation moments for rectangular shapes match those for the square with only small differences, these differences being larger when the aspect ratio is further from unity, and when the moment-order increases. The differences do not exceed about $5\%$ for any condition examined here. The aspect-ratio dependence observed for the second-order moment are indistinguishable from results for the Gaussian Random Field (GRF) with the same two-point correlation function (for which the results are order-independent by construction). When normalized by the SD of the PDF, the aspect ratio dependence is even smaller $(< 2\%)$ but does not vanish unlike for the GRF. We obtain circulation statistics around minimal area loops in three dimensions and compare them to those of a planar loop circumscribing equivalent areas, and we find that circulation statistics match in the two cases only when normalized by an internal variable such as the SD. This work highlights the hitherto unknown connection between minimal surfaces and turbulence.

연구 동기 및 목표

• 3D 난류에서 평면 및 비평면 고리에 대해 영역 규칙의 강건성을 시험하는 것 — 즉, 순환 PDF가 최소 표면적에만 의존한다는 것.
• 내부 변수(예: 표준편차)로 정규화했을 때 순환 통계가 고리 형상에 독립적인지 확인하는 것.
• 최소 표면적이 난류 역학에서 수행하는 역할, 특히 비선형성과 에너지 소모 스케일링과의 관계를 탐색하는 것.
• 직접 수치 시뮬레이션(DNS)을 통해 3D 비압축성 나비에-스토크스 난류의 데이터를 합성 가우시안 랜덤 필드(GRF)와 비교하여 동역학적 효과와 운동학적 효과를 분리하는 것.
• 순환 모멘트의 보편적 스케일링이 난류 흐름에서 최소 표면적과 간섭성 사이의 깊은 연결을 지지하는지 평가하는 것.

제안 방법

• 큰 척도에서 에너지 입력을 통해 정적인 난류를 유지하는 3D 비압축성 나비에-스토크스 방정식의 고해상도 직접 수치 시뮬레이션(DNS)을 수행한다.
• DNS와 동일한 두 점 간 속도 상관관계와 스케일 범위를 가진 합성 비산란 가우시안 랜덤 필드(GRF)를 구축하여 비교한다.
• 최소 표면에 대한 비틀림 밀도와의 관계를 고려하여, 다양한 평면 및 비평면 고리 주위의 순환 Γ(C)를 스토크스 정리로 계산한다.
• 다양한 고리 형상과 최소 표면적에 대해 순환의 확률밀도함수(PDF) 및 그 모멘트를 분석한다.
• 표준편차로 정규화된 순환 모멘트를 통해 고리 형상에 독립적인 보편성 여부를 시험한다.
• DNS와 GRF 간의 정규화된 모멘트 비율 및 PDF 尾를 비교하여 난류의 비정규성 및 동역학적 특성을 분리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3D 난류에서 영역 규칙이 예측하는 바와 같이, 고리의 형태에 관계없이 순환 PDF가 오직 최소 표면적에만 의존하는가?
• RQ2 평면 고리의 경우 순환 모멘트는 고리의 축비에 따라 어떻게 변화하며, 이는 어느 정도 정규 분포 통계와 다를까?
• RQ3 특히 고차 모멘트에 대해 정규화된 순환 PDF는 다양한 고리 형상 간에 보편적인가?
• RQ4 동일한 최소 표면적을 가진 비평면 고리의 순환 통계는 평면 고리와 어떻게 비교되며, 고리의 방향성은 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 지역 비틀림 또는 에너지 소모로 스케일링했을 때 순환 PDF의 꼬리가 단일 기능 형태로 보편적으로 기술될 수 있는가? 이는 더 깊은 보편적 스케일링을 시사하는가?

주요 결과

• 평면 고리의 경우, 사각형과 정사각형의 순환 모멘트는 모든 시험된 축비와 모멘트 순서에서 5% 미만으로 다름을 보이며, 고차 모멘트와 축비가 1에서 벗어날수록 약간 증가한다.
• 두 번째 모멘트에서의 축비 의존성은 동일한 두 점 상관관계를 가진 가우시안 랜덤 필드(GRF)와 구분되지 않으며, 이는 운동학적 기원을 지닌다.
• 표준편차로 정규화했을 때 축비 의존성은 2% 이하로 감소하지만, GRF의 경우와 달리 완전히 사라지지는 않으며, 이는 정규분포를 초월한 비정상적인 동역학 기여를 시사한다.
• 동일한 최소 표면적을 가진 비평면 고리의 경우, 평면 고리와 비교해 순환 PDF의 차이가 더 크지만, 정규화된 PDF는 일치함을 보여주어, 정규화가 보편성을 복원함을 확인한다.
• 다양한 고리에 대해 정규화된 고차 모멘트 비율은 오차 범위 내에서 순서 12까지 수렴하며, 내부 변수로 스케일링된 후에도 고리 형상에 관계없이 순환 PDF의 형태가 유지됨을 확인한다.
• 순환 PDF의 꼬리는 αexp(−b|Γ|)/√|Γ| 형태에 가까운 지수 감소를 보이며, 속도 차이와 달리 스트레칭된 지수 함수 피팅이 필요로 하지 않아 순환의 통계적 행동이 다름을 시사한다.