[논문 리뷰] The arithmetic-geometric mean and isogenies for curves of higher genus

Ron Donagi, Ron Livné|arXiv (Cornell University)|1997. 12. 21.

Algebraic Geometry and Number TheoryMathematics참고 문헌 3인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 곡선의 양자군의 이소지니를 통해 가우스의 산술기하평균의 종수 3 버전을 구성한다. 이중선형 및 삼중선형 구성 방법을 사용하여 주어진 곡선의 양자군과 동형인 양자군을 갖는 곡선을 명시적으로 구축하며, 이소지니의 핵은 2차 토픽점들의 라그랑주 부분군이 된다. 또한 이러한 구성이 종수 $ g \geq 4 $ 에서는 실패함을 증명하며, 프림 이론을 통해 종수 2의 경우를 일반화한다.

ABSTRACT

Computation of Gauss's arithmetic-geometric mean involves iteration of a simple step, whose algebro-geometric interpretation is the construction of an elliptic curve isogenous to a given one, specifically one whose period is double the original period. A higher genus analogue should involve the explicit construction of a curve whose jacobian is isogenous to the jacobian of a given curve. The doubling of the period matrix means that the kernel of the isogeny should be a lagrangian subgroup of the group of points of order 2 in the jacobian. In genus 2 such a construction was given classically by Humbert and was studied more recently by Bost and Mestre. In this article we give such a construction for general curves of genus 3. We also give a similar but simpler construction for hyperelliptic curves of genus 3. We show that the hyperelliptic construction is a degeneration of the general one, and we prove that the kernel of the induced isogeny on jacobians is a lagrangian subgroup of the points of order 2. We show that for g at least 4 no similar construction exists, and we also reinterpret the genus 2 case in our setup. Our construction of these correspondences uses the bigonal and the trigonal constructions, familiar in the theory of Prym varieties.

연구 동기 및 목표

• 가우스의 산술기하평균 구성법을 종수 3 곡선으로 확장하는 것.
• 주어진 곡선의 양자군과 동형이 되는 곡선을 라그랑주 2차 토픽점 핵을 갖는 이소지니를 통해 명시적으로 구성하는 것.
• 종수 $ g \geq 4 $ 에서 이러한 구성이 불가능함을 증명하기 위해 모듈리 공간과 단형성 수치를 사용하는 것.
• 고전적 종수 2 투브먼트 구성법을 이중선형 구성의 한 예로 재해석하는 것.
• 종수 3의 초타원곡선 특수 케이스가 일반 구성의 특수화임을 보여주는 것.

제안 방법

• 프림 다양체 이론에서 유래한 이중선형 및 삼중선형 구성 방법을 사용하여 곡선 간의 대응을 구축한다.
• 일반적인 이중점이 있는 특이 곡선의 이중 쌍대를 구성하여, 프림 다양체가 주로 극화된 상태가 되도록 보장한다.
• 웨일 쌍형성 성질을 통해 양자군 위의 이소지니의 핵이 2차 토픽점들의 라그랑주 부분군임을 확인한다.
• 주로 극화된 아벨 다양체와 곡선의 모듈리 공간을 연결하기 위해 주기 함수와 토렐리 정리를 적용한다.
• 종수 $ g \geq 4 $ 에서 $ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{R}) $ 내의 단형성과 조밀성 수치를 사용하여, 토렐리 다양체가 특정 이소지니에 대해 불변일 수 없음을 증명한다.
• 특성 2 또는 3 이외의 특성에서의 변형 유형을 분석하여, 특성 0 이외의 영역으로 일반화된 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라그랑주 2차 토픽점 핵을 갖는 이소지니를 사용하여 종수 3 곡선에 대해 가우스의 산술기하평균의 유사체를 구성할 수 있는가?
• RQ2 종수 3의 구성은 이중선형 구성 방법을 통해 종수 2의 고전적 투브먼트 구성법을 일반화하는가?
• RQ3 종수 3의 초타원곡선 특수 케이스는 일반 구성의 특수화된 형태인가?
• RQ4 라그랑주 부분군이 2차 토픽점에 존재하더라도 종수 $ g \geq 4 $ 에서 이러한 구성이 실패하는 이유는 무엇인가?
• RQ5 라그랑주 부분군에 의해 유도된 이소지니에 대해 토렐리 다양체가 유지될 수 있는가? 이는 모듈리 공간 기하학에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 삼중선형 및 이중선형 구성 방법을 사용하여, 주어진 곡선의 양자군과 동형이 되는 종수 3 곡선의 명시적 구성이 제시된다.
• 유도된 양자군 위의 이소지니의 핵이 2차 토픽점들의 라그랑주 부분군임이 증명되며, 필요한 심플렉틱 이중성 조건을 만족한다.
• 초타원곡선 종수 3 케이스는 일반 종수 3 구성의 특수화임이 입증되며, 이소지니의 구조를 유지한다.
• 종수 2의 투브먼트 구성법은 이중선형 구성의 한 예로 재해석되며, 핵은 2차 토픽점들의 라그랑주 부분군이다.
• 종수 $ g \geq 4 $ 에서는 그러한 이소지니 구성이 존재하지 않으며, 토렐리 다양체가 주로 극화된 아벨 다양체의 모듈리 공간에 조밀하게 퍼져야 하기 때문이다. 이는 차원 이론적 제약과 모순된다.
• 이소지니와 모듈리 군에 의해 생성된 단형성 군은 $ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{R}) $ 내에서 조밀하다. 이는 토렐리 다양체가 이러한 이소지니에 대해 불변이 되려면 조밀해야 하며, 이는 종수 $ > 3 $ 에서 불가능하다는 것을 의미한다.