[논문 리뷰] The Ascoli property for function spaces and the weak topology of Banach and Fréchet spaces

Saak Gabriyelyan, Jerzy Ka̧kol외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 16.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간과 프레셰 공간의 약한 위상에서 여러 위상적 성질들—아스키 리성질, $k_{\mathbb{R}}$-공간, 순차적 연속성—의 동치성을 확립한다. 바나흐 공간 $E$의 약한 위상에서 단위구가 아스키 리성질을 만족하는 것은 $E$가 $\ell_1$의 등장하는 사영을 포함하지 않을 때이고, 오직 그 때에만 성립함을 보여준다. 또한, $C_k(X)$가 아스키 리성질을 갖는 것은 $X$가 국소적으로 컴acts일 때이고, 바나흐 공간의 약한 위상이 아스키 리성질을 갖는 것은 그 공간이 유한차원일 때에만 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

Following [3] we say that a Tychonoff space $X$ is an Ascoli space if every compact subset $\mathcal{K}$ of $C_k(X)$ is evenly continuous; this notion is closely related to the classical Ascoli theorem. Every $k_\mathbb{R}$-space, hence any $k$-space, is Ascoli. Let $X$ be a metrizable space. We prove that the space $C_{k}(X)$ is Ascoli iff $C_{k}(X)$ is a $k_\mathbb{R}$-space iff $X$ is locally compact. Moreover, $C_{k}(X)$ endowed with the weak topology is Ascoli iff $X$ is countable and discrete. Using some basic concepts from probability theory and measure-theoretic properties of $\ell_1$, we show that the following assertions are equivalent for a Banach space $E$: (i) $E$ does not contain isomorphic copy of $\ell_1$, (ii) every real-valued sequentially continuous map on the unit ball $B_{w}$ with the weak topology is continuous, (iii) $B_{w}$ is a $k_\mathbb{R}$-space, (iv) $B_{w}$ is an Ascoli space. We prove also that a Fréchet lcs $F$ does not contain isomorphic copy of $\ell_1$ iff each closed and convex bounded subset of $F$ is Ascoli in the weak topology. However we show that a Banach space $E$ in the weak topology is Ascoli iff $E$ is finite-dimensional. We supplement the last result by showing that a Fréchet lcs $F$ which is a quojection is Ascoli in the weak topology iff either $F$ is finite dimensional or $F$ is isomorphic to the product $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$, where $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$.

연구 동기 및 목표

• 티히코프 공간 $X$ 위의 연속 실수값 함수의 공간 $C_k(X)$가 아스키 리성질을 갖는 조건을 규명하는 것.
• 바나흐 공간 $E$의 단위구 위의 약한 위상이 아스키 리성질 또는 $k_{\mathbb{R}}$-공간이 되는 조건을 규명하는 것.
• 바나흐 공간과 프레셰 국소볼록 공간에서 아스키 리성질과 $\ell_1$의 등장하는 사영의 부재 사이의 관계를 조사하는 것.
• 아스키 리성질이 닫힌 부분공간에 대해 보존되는지 탐구하고, $C_k(X)$ 또는 $C_p(X)$가 아스키 리성질을 갖도록 하는 $X$에 대한 구조적 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 함수 공간 $C_k(X)$에서 균일 연속적인 컴팩트 부분집합의 개념을 사용하여 아스키 공간을 정의함으로써 고전적인 아스키 정리를 일반화한다.
• 측도론적 및 확률론적 기법을 적용하여, 특히 $\ell_1$ 공간의 성질을 활용하여 약한 위상에서의 순차적 연속성을 분석한다.
• 피트케프와 제르리츠–나지의 정리를 활용하여 $C_p$-공간에서 프레셰-우르소하 성질과 $k_{\mathbb{R}}$-공간 성질 간의 관계를 규명한다.
• 자유 국소볼록 공간과 위상군 이론의 결과를 활용하여 대수적 및 함수 공간 설정에서 아스키 리성질을 연구한다.
• 비산재성 컴팩트 공간 $K$에서 $[0,1]$로의 연속 전사 함수의 존재를 이용하여, $C_p(K)$ 위에 순차적으로 연속이지만 불연속적인 함수를 구성함으로써 $k_{\mathbb{R}}$-공간의 성질이 성립하지 않음을 증명한다.
• 리만 적분의 수렴 정리(Lebesgue의 지배 수렴 정리)를 적용하여 점에서의 측도가 0이 되는 측도에 대해 적분을 통한 정의를 가진 함수의 순차적 연속성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 매트릭 공간 $X$에 대해 $C_k(X)$가 아스키 리성질을 갖는가?
• RQ2 어떤 바나흐 공간 $E$의 단위구 위의 약한 위상이 아스키 리성질을 갖는가?
• RQ3 바나흐 공간과 프레셰 공간에서 아스키 리성질과 $\ell_1$의 등장하는 사영의 부재 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 아스키 리성질은 $k_{\mathbb{R}}$-공간의 닫힌 부분공간에 대해 보존되는가?
• RQ5 어떤 티히코프 공간 $X$에 대해 $C_p(X)$가 아스키 리성질이거나 $k_{\mathbb{R}}$-공간인가?

주요 결과

• 메트릭 공간 $X$에 대해 $C_k(X)$가 아스키 리성질을 갖는 것은 $X$가 국소적으로 컴팩트할 때이다.
• 바나흐 공간 $E$의 단위구 위의 약한 위상이 아스키 리성질을 갖는 것은 $E$가 $\ell_1$의 등장하는 사영을 포함하지 않을 때이다.
• 바나흐 공간 $E$가 약한 위상에서 아스키 리성질을 갖는 것은 $E$가 유한차원일 때이다.
• 프레셰 국소볼록 공간 $F$가 약한 위상에서 아스키 리성질을 갖는 것은 $F$가 유한차원이거나 또는 $\mathbb{K}^\mathbb{N}$에 등장하는 사영을 갖는 경우이다. 여기서 $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$이다.
• 프레셰 국소볼록 공간 $F$의 닫힘, 볼록, 유계 부분집합이 약한 위상에서 아스키 리성질을 갖는 것은 $F$가 $\ell_1$의 등장하는 사영을 포함하지 않을 때이다.
• 닫힌 부분공간 중에서 아스키 리성질을 갖지 않는 가산적인 비아스키 리성질을 갖는 닫힌 부분공간이 존재함을 보여주며, 아스키 리성질이 닫힌 부분공간에 대해 보존되지 않음을 입증한다.