[논문 리뷰] The asymmetric sandwich theorem

Stephen Simons|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 29.

Functional Equations Stability Results인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비대칭 샌드위치 정리(비대칭 샌드위치 정리)를 도입하여, 국소적으로 볼록이 아닐 수 있는 조건에서도 선형 함수형의 존재를 보장하는 일반화된 하인-반하흐 정리의 일반화를 제시한다. 볼록 함수와 그 쌍대 함수에 대해 새로운 삼변량, 사변량, 이변량 쌍대성 정리들을 유도하며, 유계성과 베르 카테고리 조건을 사용하여, 로카펠라르와 로빈슨–아투쉬–브레지스의 펜헬 쌍대성 정리를 국소적으로 볼록이 아닌 메트라이잭블 공간으로 확장한다.

ABSTRACT

We discuss the asymmetric sandwich theorem, a generalization of the Hahn-Banach theorem. As applications, we derive various results on the existence of linear functionals that include bivariate, trivariate and quadrivariate generalizations of the Fenchel duality theorem. Most of the results are about affine functions defined on convex subsets of vector spaces, rather than linear functions defined on vector spaces. We consider both results that use a simple boundedness hypothesis (as in Rockafellar's version of the Fenchel duality theorem) and also results that use Baire's theorem (as in the Robinson-Attouch-Brezis version of the Fenchel duality theorem). This paper also contains some new results about metrizable topological vector spaces that are not necessarily locally convex.

연구 동기 및 목표

• 벡터 공간의 볼록 부분집합 위에서의 애파인 함수에 대해 비대칭 설정으로 일반화된 하인-반하흐 정리를 도입하기 위해 볼록 조합 공간과 애파인 사상 사용.
• 국소 볼록성을 가정하지 않고 무한차원 공간에서 선형 함수형의 존재 정리를 수립하기.
• 유계성 또는 베르 카테고리 조건 하에서 삼변량, 사변량, 이변량 등 다변량 쌍대성 결과(볼록 함수의 쌍대 함수에 대해)를 도출하기.
• 로카펠라르와 로빈슨–아투쉬–브레지스의 펜헬 쌍대성 정리를 국소적으로 볼록이 아닌 메트라이잭블 위상 벡터 공간으로 확장하기.
• 쌍대성 정리에서 내부성 조건이 자동으로 만족되는 조건을 제공하여 검증을 단순화하기.

제안 방법

• 벡터 공간의 볼록 부분집합 위에서의 애파인 함수에 대해 비대칭 샌드위치 정리(정리 4)를 도입하여 하인-반하흐 정리의 일반화를 제공한다.
• 서브레벨 집합 정리(정리 7)와 CC 공간(볼록 부분집합)에서의 쌍대 함수 이론을 사용하여 선형 함수형의 존재를 도출한다.
• 두 개의 CC 공간과 국소적으로 볼록인 공간을 포함하는 기술적 삼변량 존재 결과(보조정리 9)를 적용하여 정리 10과 정리 13을 유도한다.
• 메트라이잭블 공간에서 내부성 조건(11)이 더 단순한 위상 조건과 동치임을 보이기 위해 렘마 19와 정리 20에서 베르의 정리를 적용한다.
• 애파인 사상의 병합과 볼록 함수의 최소합성의 조합을 통해 사변량(정리 13)과 이변량(보조정리 14) 정리를 도출한다.
• 필츠패킷 함수와 강한 표현 가능성 조건을 사용하여 바나흐 공간과 프레셰 공간에 결과를 적용하며, 애파인 사상에 의한 정의역의 이미지에 대한 조건을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적으로 볼록인 벡터 공간 위에서 정의된 특정 볼록 집합들을 분리할 수 있는 선형 함수형이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 유계성 또는 베르 카테고리 조건을 사용하여 펜헬 쌍대성을 국소적으로 볼록이 아닌 공간으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 내부성 조건은 다변량 쌍대성 정리에서 어떤 역할을 하는가? 언제 자동으로 만족될 수 있는가?
• RQ4 비국소적으로 볼록인 위상 벡터 공간에서 쌍대 함수는 애파인 사상과의 병합에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 무한차원 설정에서 볼록 함수의 부분 최소합성은 쌍대 함수 이론을 통해 어떻게 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 비대칭 샌드위치 정리(정리 4)는 벡터 공간의 볼록 부분집합 위에서 선형 함수형의 존재를 보장하는 일반적 프레임워크를 제공한다.
• 보조정리 9는 두 개의 CC 공간과 국소적으로 볼록인 공간을 포함하는 삼변량 존재 정리를 수립하여 다변량 쌍대성 결과를 가능하게 한다.
• 정리 10은 새로운 애파인 펜헬 쌍대성 정리(보조정리 11)를 도출하며, 전역 하부 연속성 조건 없이 로카펠라르의 유계성 기반 쌍대성 정리를 일반화한다.
• 정리 13은 두 개의 애파인 사상과 사변수 함수로 정의된 볼록 함수의 쌍대 함수를 계산하기 위한 사변량 존재 정리를 제공한다.
• 보조정리 14는 부분 최소합성과 쌍대 함수 이론에 대한 시몬스의 결과를 확장하는 이변량 존재 정리를 도입한다.
• 보조정리 27–30은 비반사적 바나흐 공간에서 최대 단조 다중함수에 대한 최근 결과를 일반화하며, 특정 스케일링된 정의역 이미지의 닫힘 조건 하에서 쌍대 공식이 성립함을 보여준다.