[논문 리뷰] The asymptotic number of $12..d$-Avoiding Words with $r$ occurrences of each letter $1,2, ..., n$

Guillaume Chapuy|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 18.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 길이 $rn$인 단어 중 각 문자 $1$에서 $n$까지 정확히 $r$번씩 등장하고, 길이 $d+1$인 증가 부분수열을 포함하지 않는 단어의 수에 대한 최초의 명시적 점근적 공식을 수립한다. RSK 대응과 케이스터 수의 잰비-트루디 행렬식에 대한 안장점 분석을 통해 저자들은 정확한 점근적 표현을 유도하며, 이는 에카드와 자일버거가 제기한 추측을 해결하고 리제브의 결과($r=1$인 경우)를 일반화한다. 결과적으로 지수적 성장률이 확인되었고, 일반적인 $r$에 대해 보조 인자(제곱근 항)가 정확히 수정되었다. 주요 기여는 점근 공식의 곱상수에 대한 닫힌 표현식을 제공한 것이다.

ABSTRACT

Following Ekhad and Zeilberger (The Personal Journal of Shalosh B. Ekhad and Doron Zeilberger, Dec 5 2014; see also arXiv:1412.2035), we study the asymptotics for large $n$ of the number $A_{d,r}(n)$ of words of length $rn$ having $r$ letters $i$ for $i=1..n$, and having no increasing subsequence of length $d$. We prove an asymptotic formula conjectured by these authors, and we give explicitly the multiplicative constant appearing in the result, answering a question they asked. These two results should make the OEIS richer by 100+25=125 dollars. In the case $r=1$ we recover Regev's result for permutations. Our proof goes as follows: expressing $A_{d,r}(n)$ as a sum over tableaux via the RSK correspondence, we show that the only tableaux contributing to the sum are "almost" rectangular (in the scale $\sqrt{n}$). This relies on asymptotic estimates for the Kotska numbers $K_{λ,r^n}$ when $λ$ has a fixed number of parts. Contrarily to the case $r=1$ where these numbers are given by the hook-length formula, we don't have closed form expressions here, so to get our asymptotic estimates we rely on more delicate computations, via the Jacobi-Trudi identity and saddle-point estimates.

연구 동기 및 목표

• 에카드와 자일버거가 제기한, 각 문자 $1,\dots,n$가 정확히 $r$번씩 등장하고 $12\dots d$를 피하는 단어의 점근적 수에 대한 추측을 해결하기 위해.
• 이전에는 작은 $d$와 $r$에 대해서만 추측되었던 점근 공식의 곱상수 $C_{d+1,r}$에 대한 명시적 표현을 제공하기 위해.
• 리제브의 결과($r=1$인 경우, 길이 $d+1$인 증가 부분수열을 피하는 순열)를 일반적인 $r \geq 1$으로 확장하기 위해.
• 크기가 $rn$이고 $d$개의 부분을 가지는 분할 $\lambda$에 대해 Kostka 수 $K_{\lambda,r^n}$의 점근적 행동을 분석하며, $\sqrt{n}$ 척도에서 직사각형에 가까운 형태에 집중하기 위해.

제안 방법

• RSK 대응을 통해 $A_{d+1,r}(n)$을 최대 $d$개의 부분을 가지는 분할 $\lambda$에 대한 합으로 표현하며, 각 항은 표준 양태 표의 수 $f_\lambda$와 $g_\lambda^{(r)} = K_{\lambda,r^n}$인 Kostka 수의 곱이다.
• 잔디-트루디 항등식을 사용하여 슈어 함수 $s_\lambda$를 완전 대칭 함수의 행렬식으로 표현함으로써 생성함수 기법을 적용할 수 있도록 한다.
• 잔여정리에 기반한 다변수 경로적분 표현을 통해 $K_{\lambda,r^n}$을 사용하며, 바르데모인 행렬식이 포함된 $d$중 경로적분으로 표현한다.
• 적분 표현에 대해 안장점 분석을 적용하며, 각 부분이 $rn/d$에 대해 $\sqrt{n}$ 척도로 가까운 분할 $\lambda$에서 주된 기여를 분리하여 주요 점근적 항을 추출한다.
• 균일한 추정과 도미네이티드 수렴 정리를 사용하여, 분할 $\lambda_i$의 적절한 스케일링 이후 단체 $\sum z_i = 0$, $z_1 < \dots < z_d$ 위의 극한 적분을 평가한다.
• 기존의 리제브(1981) 결과를 활용하여 유도된 가우시안 적분을 평가하고, 스케일링 인자를 결합하여 최종적으로 $C_{d+1,r}$에 대한 닫힌 표현식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $rn$이고 각 문자 $1,\dots,n$가 정확히 $r$번씩 등장하며 길이 $d+1$인 증가 부분수열을 포함하지 않는 단어의 수의 정확한 점근적 성장률은 무엇인가요?
• RQ2 일반적인 $d \geq 2$와 $r \geq 1$에 대해, $A_{d+1,r}(n)$의 점근 공식에 나타나는 곱상수 $C_{d+1,r}$는 명시적으로 계산될 수 있는가요?
• RQ3 RSK 합에서 기여하는 표의 점근적 행동은 무엇인가요? $n \to \infty$일 때, 이들은 $\sqrt{n}$ 척도에서 거의 직사각형 형태에 집중되어 있나요?
• RQ4 크기가 $rn$이고 $d$개의 부분을 가지며, 직사각형 형태 $(n/d,\dots,n/d)$에 가까운 분할 $\lambda$에 대해 Kostka 수 $K_{\lambda,r^n}$의 점근적 행동은 어떻게 되나요?
• RQ5 잔디-트루디 행렬식에 대해 적용된 안장점 방법은 $K_{\lambda,r^n}$에 대해 균일한 점근적 추정을 제공하는가? 이는 분할 $\lambda$에 대한 합을 적분으로 근사할 수 있도록 하는가?

주요 결과

• 점근 공식은 $A_{d+1,r}(n) \sim C_{d+1,r} \cdot n^{-\frac{(d+1)(d-1)}{2}} \left[d^r \binom{r+d-1}{d-1}\right]^n$ 으로 확립되며, $C_{d+1,r}$는 명시적으로 계산되었다.
• 곱상수는 $C_{d+1,r} = \frac{\sqrt{d} \cdot \prod_{i=1}^{d-1} i!}{(2\pi)^{\frac{d}{2} - \frac{1}{2}}} \left(\frac{d(d+1)}{r(2d+r+1)}\right)^{\frac{(d-1)(d+1)}{2}}$ 로 주어지며, 이는 상수의 값에 대한 추측을 해결한다.
• RSK 대응의 합에서 주요 기여는 각 부분이 직사각형 형태 $(rn/d, \dots, rn/d)$에서 $O(\sqrt{n})$ 이내인 분할 $\lambda$에서 비롯되며, 이는 '거의 직사각형' 형태의 집중을 확인한다.
• 잔디-트루디 행렬식에 대한 안장점 분석을 통해 Kostka 수 $K_{\lambda,r^n}$의 점근적 추정이 이루어졌으며, 적분 표현을 통해 지수항과 다항항을 정밀하게 제어할 수 있었다.
• 직사각형 형태에서 $\sqrt{n}$ 이내가 아닌 비주요 표의 기여 오차는 지수적으로 작아서, 적분 근사가 정당화됨을 보였다.
• 최종적으로 단체 $\sum z_i = 0$, $z_1 < \dots < z_d$ 위의 적분은 리제브(1981)의 기존 결과를 활용하여 평가되었으며, 이는 닫힌 표현식인 상수 $C_{d+1,r}$의 유도를 가능하게 하였다.