[논문 리뷰] The Atiyah-Patodi-Singer index on manifolds with non-compact boundary

Maxim Braverman, Pengshuai Shi|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 21.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 42인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비유계 경계를 가진 완전한 홀수차원 다발 위에서 강한 Callias형 연산자에 대해 Atiyah-Patodi-Singer 지수정리 수립한다. 개별 eta-항량의 값이 정의되지 않음에도 불구하고 그 차이처럼 행동하는 상대적 eta-항량을 도입하고, 이 상대적 불변량이 두 배의 스펙트럼 흐름과 같음을 증명하며, 유계 기하학 조건 없이 비유계 설정으로의 지수이론 확장한다.

ABSTRACT

We study the index of the APS boundary value problem for a strongly Callias-type operator D on a complete Riemannian manifold $M$. We show that this index is equal to an index on a simpler manifold whose boundary is a disjoint union of two complete manifolds $N_0$ and $N_1$. If the dimension of $M$ is odd we show that the latter index depends only on the restrictions $A_0$ and $A_1$ of $D$ to $N_0$ and $N_1$ and thus is an invariant of the boundary. We use this invariant to define the relative eta-invariant $η(A_1,A_0)$. We show that even though in our situation the eta-invariants of $A_1$ and $A_0$ are not defined, the relative eta-invariant behaves as if it was the difference $η(A_1)-η(A_0)$.

연구 동기 및 목표

• 비유계 경계를 가진 완전한 홀수차원 다발로 Atiyah-Patodi-Singer 지수정리를 일반화하기.
• 비유계 설정에서 타원 경계조건 하에서 강한 Callias형 연산자에 대한 불변 지수를 정의하기.
• 개별 eta-항량이 정의되지 않음에도 불구하고 그 차이처럼 행동하는 상대적 eta-항량을 도입하기.
• 경계 연산자 간의 코버디즘의 지수와 관련된 상대적 eta-항량과 스펙트럼 흐름을 연결하는 스펙트럼 흐름 공식 수립하기.
• 비유계 초표면에 따라 분할된 다발에서 지수의 분할정리 증명하기.

제안 방법

• 강한 성장 조건을 갖는 포텐셜을 통해 이산 스펙트럼을 보장하는 완전한 다발 위에서 강한 Callias형 연산자 도입하기.
• 경계 연산자의 고유분해를 이용해 경계 위의 스케일 Sobolev 공간을 구성하고, 이로써 경계 연산자에 의존하는 타원 경계조건 정의하기.
• 비유계 설정에서 유계 다발의 대체로, 유한한 집합 외부에서는 실린더 형태인 본질적으로 실린더 형태의 다발 정의하기.
• 다발을 실린더로 확장하여 코버디즘 구조를 만들고, 경계값 문제의 지수를 연속적인 연산자 가중치의 스펙트럼 흐름과 연결하기.
• 경계 성분에 APS 경계조건 적용하고, 스펙트럼 분할을 사용해 연속적인 경계조건의 가중치를 정의하기.
• 영역의 동형을 통한 지수의 연속적인 가중치 가족에서의 불변성 증명으로 스펙트럼 흐름 공식 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 기하학이나 컴팩트성 조건 없이, 비유계 경계를 가진 다발로 Atiyah-Patodi-Singer 지수정리를 확장할 수 있는가?
• RQ2 개별 항량이 정의되지 않음에도 불구하고 두 비유계 다발 위의 연산자 간 eta-항량의 차이를 포착하는 잘 정의된 불변량이 존재하는가?
• RQ3 비유계 다발에서 경계값 문제의 지수는 경계 위의 연산자 가중치의 스펙트럼 흐름과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 비유계 초표면에 따라 분할된 비유계 다발에서 지수를 분할정리로 분해할 수 있는가?
• RQ5 상대적 eta-항량과 경계 위의 자기수반 연산자 가중치의 스펙트럼 흐름 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 비유계 경계를 가진 완전한 홀수차원 다발 위에서 타원 경계조건을 갖는 강한 Callias형 연산자의 지수는 프리드홀름이다.
• 비유계 초표면에 따라 다발이 분할될 경우, 경계가 있는 다발의 경계값 문제의 지수는 두 부분의 지수의 합과 같다.
• η(𝒜₁,𝒜₀)는 η(𝒜₁)과 η(𝒜₀)가 정의되지 않음에도 불구하고 잘 정의되어 있으며, 마치 그 차이처럼 행동한다.
• 상대적 eta-항량은 η(𝒜¹,𝒜⁰) = 2·sf(𝒜)를 만족하며, 여기서 sf(𝒜)는 가중치 𝒜의 스펙트럼 흐름이다.
• 코버디즘 다발 위의 확장된 연산자 지수는 가중치 가중치에 따라 일정하며, 이로 인해 스펙트럼 흐름 공식이 도출된다.
• 경계 위의 연산자 가중치의 스펙트럼 흐름은 상대적 eta-항량의 차이의 반과 같으며, 이는 지수이론과 스펙트럼 불변량 사이의 깊은 연결 고리를 확립한다.