[논문 리뷰] The automorphism group of a self-dual binary [72,36,16] code does not contain Z7, Z3xZ3, or D10

Thomas Feulner, Gabriele Nebe|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 27.

Coding theory and cryptography참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순환군 $Z_7$, 초등 아벨 군 $Z_3 \times Z_3$, 또는 딜레하르 군 $D_{10}$를 포함하는 자동군을 가진 극한 자기수정 이진 [72,36,16] 코드가 존재하지 않음을 증명한다. Magma를 사용한 계산적 방법을 통해 군 대수 분해와 추적-헤르미트 코드를 통한 $G$-불변 자기수정 코드를 분석하여, 이러한 대칭성 하에서 최소 거리 16을 달성할 수 있는 그러한 코드가 존재하지 않음을 보였다. 결과적으로, 이러한 코드의 가능한 자동군의 순서는 5 또는 24의 약수로 제한된다.

ABSTRACT

A computer calculation with Magma shows that there is no extremal self-dual binary code C of length 72 that has an automorphism group containing D10, Z3xZ3, or Z7. Combining this with the known results in the literature one obtains that Aut(C) is either Z5 or has order dividing 24.

연구 동기 및 목표

• 극한 자기수정 이진 [72,36,16] 코드의 가능한 자동군을 규명하는 것.
• 이러한 코드의 자동군에 $Z_7$, $Z_3 \times Z_3$, 및 $D_{10}$가 부분군으로 존재하지 않음을 배제하는 것.
• 특정 군 구조를 제거하여 가능한 자동군의 분류를 완성하는 것.
• 군 대수 분해를 통한 $\mathbb{F}_2$ 위의 $G$-불변 자기수정 코드 분석을 위해 계산 대수학과 표현 이론을 사용하는 것.

제안 방법

• 기약 순서를 가진 아벨 군 $G$에 대해 마슈케 정리를 적용하여 군 대수 $\mathbb{F}_2G$를 체의 직합으로 분해하는 것.
• 군 $G$-불변 자기수정 코드와 확장 체 $\mathbb{F}_{2^{k_i}}$ 위의 자기수정 코드 튜플 사이의 대응 관계를 활용하며, 특정 이중성 조건을 만족하는 것.
• $\mathbb{F}_{16}$ 위의 추적-헤르미트 자기수정 코드를 체계적 생성 행렬과 $D_{10} \wr S_7$ 대칭성을 사용하여 모델링하는 것.
• 길이 7인 $\mathbb{F}_4$-선형 추적-헤르미트 자기수정 코드를 최소 무게 8 이상이 되도록 백트래킹 알고리즘을 구현하는 것.
• $\mathbf{F}_4^* \times (D_{10} \wr S_7)$를 통한 궤도 감소를 이용하여 후보 검색 공간을 최소화하는 것.
• 최소 거리 $\geq 16$를 확보하기 위해 1920개의 코드 목록에서 유도된 이진 코드 $C_0$를 사용해 후보 코드를 반복적으로 걸러내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기수정 이진 [72,36,16] 코드 중 자동군에 $Z_7$ 가 포함된 것이 존재하는가?
• RQ2 자기수정 [72,36,16] 코드가 자동군의 부분군으로서 $Z_3 \times Z_3$ 를 가질 수 있는가?
• RQ3 그러한 코드의 자동군이 딜레하르 군 $D_{10}$ 를 부분군으로 가질 수 있는가?
• RQ4 가능한 극한 [72,36,16] 코드의 자동군 순서는 무엇인가?
• RQ5 계산적 및 표현 이론적 분석을 통해 이러한 코드의 자동군에서 배제되는 군 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 자기수정 이진 [72,36,16] 코드 중 자동군에 $Z_7$ 가 포함된 것은 존재하지 않는다.
• 자기수정 이진 [72,36,16] 코드 중 자동군의 부분군으로서 $Z_3 \times Z_3$ 를 가진 것은 존재하지 않는다.
• 자기수정 이진 [72,36,16] 코드 중 자동군의 부분군으로서 $D_{10}$ 를 가진 것은 존재하지 않는다.
• Magma와 고유의 백트래킹 알고리즘을 사용하여 약 70일의 CPU 시간이 소요되었다.
• 검색 과정의 수준 $i=7$ 에서 남은 4개의 후보 코드 모두에 대해 최소 거리 16을 확보할 수 있는 유효한 이진 확장 $C_0$ 가 발견되지 않았다.
• 모든 극한 [72,36,16] 코드의 자동군은 순서 5 또는 24의 약수여야 한다.