[논문 리뷰] The average exponent of elliptic curves modulo $p$

Jie Wu|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 26.

Cryptography and Residue Arithmetic참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 프라이버그와 커르버그의 이전 작업을 개선하여 소수 $ p $ 모듈로 타원곡선의 평균 지수 $ e_p $ 에 대한 향상된 점근적 공식을 수립한다. 일반화된 리만 가설(GRH) 하에서, $ \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leq x} e_p = \frac{1}{2}C_E x + O_E(x^{5/6}("log x)^{4/3}) $ 를 증명하며, 복소 곱승(CM) 곡선에 대해서는 조건 없이 $ \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leq x} e_p = \frac{1}{2}C_E x + O_E\left(\frac{x}{(\log x)^{1/14}}\right) $ 를 얻는다. 이는 오차 항을 이전 연구보다 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve defined over ${\mathbb Q}$. For a prime $p$ of good reduction for $E$, denote by $e_p$ the exponent of the reduction of $E$ modulo $p$. Under GRH, we prove that there is a constant $C_E\in (0, 1)$ such that $$ \frac{1}{π(x)} \sum_{p\le x} e_p = 1/2 C_E x + O_E\big(x^{5/6} (\log x)^{4/3}\big) $$ for all $x\ge 2$, where the implied constant depends on $E$ at most. When $E$ has complex multiplication, the same asymptotic formula with a weaker error term $O_E(1/(\log x)^{1/14})$ is established unconditionally. These improve some recent results of Freiberg and Kurlberg.

연구 동기 및 목표

• 최근 프라이버그와 커르버그의 결과를 개선하여 소수 $ p $ 모듈로 타원곡선의 평균 지수 $ e_p $ 에 대한 점근적 추정을 보다 정밀하게 다루는 것.
• 분할체 $ L_k = \mathbb{Q}(E[k]) $ 의 디데킨드 제타 함수에 대해 GRH 하에서 오차 항을 더 작게 만들기 위해, 오차를 $ x^{9/10} $ 에서 $ x^{5/6} $ 으로 감소시키는 더 날카운 오차 항을 확립하는 것.
• 복소 곱승(CM) 곡선에 대해 조건 없이 점근적 공식을 증명하고, 오차 항을 $ O_E(x / (\log x)^{1/14}) $ 으로 개선하며, 효과적인 체보타레프 밀도 추정을 활용하는 것.
• 프라이버그와 커르버그의 방법을 효과적인 해석수론 도구를 사용하여 통합하고 단순화하여, 특히 군 구조와 밀도 정리에 기반해 $ d_p $ 와 $ e_p $ 의 합을 다루는 것.

제안 방법

• 합 $ \sum_{p \leq x} e_p $ 는 군 구조 $ E_p(\mathbb{F}_p) \simeq \mathbb{Z}/d_p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/e_p\mathbb{Z} $ 를 통해 표현되며, 여기서 $ e_p $ 는 지수이고, $ a_p $ 를 프로베누스의 추적으로 하여 $ e_p = \frac{p+1-a_p}{d_p} $ 로 연결된다.
• 합은 두 부분으로 분해된다: $ k \leq y $ 인 $ k \mid d_p $ 에 대해 합하는 $ S_1 $ 과 $ k > y $ 인 $ k \mid d_p $ 에 대해 합하는 $ S_2 $ 로 나뉘며, 이는 이중 분할과 이중 합을 통해 오차 항을 균형 있게 조절한다.
• $ S_1 $ 에서는 $ k \mid d_p $ 를 만족하는 소수 $ p \leq x $ 의 수를 $ L_k $ 의 $ k $-분할체에 대해 체보타레프 밀도 정리를 적용하여 추정하며, GRH 하에서나 CM 곡선에 대해 조건 없이 효과적인 경계를 적용한다.
• $ S_2 $ 에서는 브룬-티치마르시 부등식과 $ k^2 \mid p+1-a_p $, $ k \mid p-1 $ 를 만족하는 $ p \leq x $ 의 수에 대한 경계를 사용한다. 이는 $ k \mid d_p $ 이면 $ k^2 \mid (p+1-a_p) $ 이고 $ k \mid (a_p - 2) $ 라는 사실을 활용한다.
• GRH 하에서는 $ y = x^{1/3}(\log x)^{-2/3} $, CM 곡선에 대해 조건 없이 $ y = (C^{-1}N_E^{-2}\log x)^{1/14} $ 로 선택하여 $ S_1 $ 과 $ S_2 $ 의 오차 항을 최소화함으로써 오차 항을 최적화한다.
• 상수 $ C_E $ 는 $ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n_{L_k}} \sum_{dm=k} \frac{\mu(d)}{m} $ 로 정의되며, 이는 분할체의 구조에 대한 모비우스 역전개에서 유래된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 $ p $ 모듈로 타원곡선의 평균 지수 $ e_p $ 의 정확한 점근적 행동은 무엇이며, 오차 항은 어떻게 개선될 수 있는가?
• RQ2 프라이버그와 커르버그의 GRH 기반 오차 항 $ O_E(x^{9/10} (\log x)^{11/5}) $ 는 더 개선될 수 있으며, 만약 그렇다면 얼마나 개선되는가?
• RQ3 복소 곱승(CM) 곡선에 대해, $ \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leq x} e_p $ 의 점근적 공식은 조건 없이 이전의 $ O_E(x \log_3 x / \log_2 x) $ 보다 더 나은 오차 항을 갖는 것으로 증명될 수 있는가?
• RQ4 $ k $-분할체 $ L_k = \mathbb{Q}(E[k]) $ 의 구조는 $ d_p $ 의 분포에 어떻게 영향을 주며, 이를 어떻게 활용해 $ e_p $ 를 추정할 수 있는가?
• RQ5 $ S_1 $ 과 $ S_2 $ 의 오차 항 간의 최적 균형은 무엇이며, 이는 이중 파arms $ y $ 의 선택에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• GRH 하에서 평균 지수는 $ \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leq x} e_p = \frac{1}{2}C_E x + O_E(x^{5/6}(\log x)^{4/3}) $ 를 만족하며, 이는 이전의 오차 항 $ O_E(x^{9/10} (\log x)^{11/5}) $ 보다 향상된 것이다.
• 복소 곱승(CM) 곡선에 대해 조건 없이 점근적 공식이 성립하며 오차 항은 $ O_E\left(\frac{x}{(\log x)^{1/14}}\right) $ 으로, 이는 이전의 조건 없음 오차 bound $ O_E(x \log_3 x / \log_2 x) $ 보다 크게 향상된 것이다.
• 상수 $ C_E = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n_{L_k}} \sum_{dm=k} \frac{\mu(d)}{m} $ 로 정의되며, 여기서 $ n_{L_k} = [L_k : \mathbb{Q}] $ 이다. 이 상수는 주요 항을 결정하며, $ k $- torsion 필드의 구조에 대한 모비우스 역전개에서 유래된다.
• GRH 하에서 개선된 오차 항은 더 정교한 이중 분할과 효과적인 체보타레프 밀도 추정을 통해 $ p \leq x $ 에서 $ k \mid d_p $ 를 만족하는 소수의 수에 대한 더 날카운 경계를 얻음으로써 유도된다. 이 경우 오차는 $ O(x^{1/2} \log(N_E x)) $ 이다.
• CM 곡선에 대해 조건 없이 오차 항은 $ O_E(x^2 \exp\{-B(\log x)^{5/14}\}) $ 를 갖는 효과적인 체보타레프 밀도 정리의 경계를 사용하여 유도되며, 이는 $ k \leq (C^{-1}N_E^{-2}\log x)^{1/14} $ 까지 유효하다.
• 이중 파arms $ y $ 의 최적 선택은 GRH 하에서는 $ x^{1/3}(\log x)^{-2/3} $ 이고, CM 곡선에 대해 조건 없이 $ (C^{-1}N_E^{-2}\log x)^{1/14} $ 이며, 이는 $ S_1 $ 과 $ S_2 $ 의 병합된 오차를 최소화한다.