[논문 리뷰] The average size of the 2-Selmer group of Jacobians of hyperelliptic curves having a rational Weierstrass point

Manjul Bhargava, Benedict H. Gross|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 44인용 수 61

한 줄 요약

이 논문은 높이에 따라 정렬된 초타원곡선의 임의의 $ n \geq 1 $ 차수에서 유리 Weierstrass 점을 가진 경우, 그들의 아벨 다양체인 Jacobian의 2-Selmer 군의 평균 크기가 정확히 3임을 증명한다. 저자들은 재수정된 군의 작용에 대한 기하학적 불변량 이론을 사용하여 정수 궤도를 분석하고, 아델 적분과 걸러내기 방법을 결합하여 평균 크기를 계산하며, Chabauty 방법을 통해 유리점의 효과적인 상계를 도출한다.

ABSTRACT

We prove that when all hyperelliptic curves of genus $n\geq 1$ having a rational Weierstrass point are ordered by height, the average size of the 2-Selmer group of their Jacobians is equal to 3. It follows that (the limsup of) the average rank of the Mordell-Weil group of their Jacobians is at most 3/2. The method of Chabauty can then be used to obtain an effective bound on the number of rational points on most of these hyperelliptic curves; for example, we show that a majority of hyperelliptic curves of genus $n\geq 3$ with a rational Weierstrass point have fewer than 20 rational points.

연구 동기 및 목표

• 높이 순서로 정렬된 초타원곡선의 임의의 $ n \geq 1 $ 차수에서 유리 Weierstrass 점을 가진 경우, 그들의 Jacobian의 2-Selmer 군의 평균 크기를 결정하는 것.
• 이 평균 크기가 높이 순서로 정렬된 경우에 정확히 3임을 입증하는 것. 이는 계수에 대한 합동 조건으로 정의된 가족으로 제한된 경우에도 성립한다.
• Chabauty 방법을 사용하여 이러한 곡선 위의 유리점 수에 대한 효과적인 상계를 유도하는 것.
• Bhargava와 Gross의 방법을 궤도 수세기 및 아델 기하학-수론 기법을 통해 고차수 초타원곡선으로 확장하는 것.

제안 방법

• 저자들은 정수 이元 이진형식의 공간 위에서 작용하는 직교군의 표현을 구성하여, Jacobian의 2- torsion 작용을 매개화한다.
• Galois 코hom로와 Vinberg의 nilpotent 궤도 이론을 사용하여 정수 궤도를 분류하고, $ \mathbb{Z} $ 및 $ \mathbb{Z}_p $ 위에서 기본 영역을 식별한다.
• 수론 기하학적 추정치를 사용하여 높이가 제한된 비가역 정수 점의 수를 세며, 국소 밀도와 합동 조건을 통합한다.
• 가중치 걸러내기 방법을 적용하여 Selmer 원소를 분리하고, $ \mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}_\nu)/2\mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}_\nu) $ 의 구조를 통해 국소 밀도를 계산한다.
• 아델 체적 공식 $ \mathrm{vol}(V(\mathbb{A})_{<X}/G(\mathbb{Q})) = 2 \cdot \mathrm{vol}(S(\mathbb{A})_{<X}) $ 을 사용하여 전역 수와 국소 측도를 연결한다.
• Herbrand 몫의 곱 공식과 균일 분포를 통해 비자명한 2-Selmer 원소의 평균 수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높이 순서로 정렬된 초타원곡선의 임의의 $ n \geq 1 $ 차수에서 유리 Weierstrass 점을 가진 경우, 그들의 Jacobian의 2-Selmer 군의 평균 크기는 얼마인가요?
• RQ2 이 평균 크기는 계수에 대한 합동 조건으로 정의된 가족으로 제한된 경우에도 여전히 3인가요?
• RQ3 Chabauty 방법을 사용하여 이러한 곡선 위의 유리점 수를 효과적으로 상계할 수 있는가요?
• RQ4 2-Selmer 군 크기는 Mordell-Weil 군의 평균 랭크와 어떻게 관련이 있나요?
• RQ5 Tamagawa 수와 아델 적분은 Selmer 군의 평균 크기를 계산하는 데 어떤 역할을 하나요?

주요 결과

• 높이 순서로 정렬된 초타원곡선의 임의의 $ n \geq 1 $ 차수에서 유리 Weierstrass 점을 가진 경우, 그들의 Jacobian의 2-Selmer 군의 평균 크기는 정확히 3이다.
• 이 결과는 계수에 대한 유한한 합동 조건으로 정의된 어떤 가정의 곡선 가족에 대해서도 균일하게 성립한다.
• 2-Selmer 군의 평균 2-랭크는 $ 3/2 $ 이하이며, 이는 Mordell-Weil 군의 평균 랭크가 $ 3/2 $ 이하임을 의미한다.
• 유리 Weierstrass 점을 가진 초타원곡선의 대부분(특히 $ n \geq 3 $ 인 경우)에 대해, 그 위의 유리점 수는 20 미만이다.
• 이 방법은 유한한 수의 자리에 대해 아델 곱 $ \prod_{\nu} \mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}_\nu)/2\mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}_\nu) $ 에서 비항등 2-Selmer 원소의 균일 분포를 확립한다.
• 아델 체적 공식 $ \mathrm{vol}(V(\mathbb{A})_{<X}/G(\mathbb{Q})) = 2 \cdot \mathrm{vol}(S(\mathbb{A})_{<X}) $ 은 전역적 평균 크기 계산의 기초가 된다.