[논문 리뷰] The average size of the 5-Selmer group of elliptic curves is 6, and the average rank is less than 1

Manjul Bhargava, Arul Shankar|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 24인용 수 48

한 줄 요약

이 논문은 ℚ 위의 타원곡선을 높이에 따라 순서를 매길 때, 5-Selmer 군의 평균 크기가 정확히 6임을 증명한다. 이는 Poonen–Raines 히ュ리스틱의 특수한 경우를 확인하는 것이다. 이 결과와 새로운 루트 수의 등분포 결과를 활용하여, ℚ 위의 타원곡선의 평균 랭크가 0.885 이하임을 보이며, 최소 83.75%는 랭크 0 또는 1이며, 최소 20.62%는 랭크 0임을 밝혀낸다.

ABSTRACT

In this article, we prove that the average rank of elliptic curves over $\mathbb{Q}$, when ordered by height, is less than $1$ (in fact, less than $.885$). As a consequence of our methods, we also prove that at least four fifths of all elliptic curves over $\mathbb{Q}$ have rank either 0 or 1; furthermore, at least one fifth of all elliptic curves in fact have rank 0. The primary ingredient in the proofs of these theorems is a determination of the average size of the $5$-Selmer group of elliptic curves over $\mathbb{Q}$; we prove that this average size is $6$. Another key ingredient is a new lower bound on the equidistribution of root numbers of elliptic curves; we prove that there is a family of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ having density at least $55\%$ for which the root number is equidistributed.

연구 동기 및 목표

• 높이에 따라 순서를 매긴 ℚ 위의 타원곡선에 대해 5-Selmer 군의 평균 크기를 결정하는 것.
• ℚ 위의 타원곡선에 대한 평균 랭크의 상한을 설정하여, 그것이 1보다 작음을 증명하는 것.
• 양의 조밀도를 가진 타원곡선이 랭크 0 또는 1임을 보여주는 것이며, 특히 랭크 0인 곡선의 비율이 상당함을 밝혀내는 것.
• p=5일 때 Poonen–Raines 히ュ리스틱의 특수한 경우를 확인하는 것 — 평균 p-Selmer 군 크기가 p+1임을 예측함.
• 큰 타원곡선 가중치에서 루트 수의 등분포를 증명하여, Selmer 랭크 및 랭크 분포에 대한 경계를 도출하는 것.

제안 방법

• 기하학적 모델을 이용한 종수 1 곡선의 방법을 통해, 타원곡선의 국소적으로 해가 존재하는 5-커빙을 통해 5-Selmer 군의 원소를 매개변수화하는 것.
• 정수 계수 이항형식과 불변량 이론을 이용해 5-커빙을 매개변수화하여, 합동 계열 전반에서 5-Selmer 원소를 균일하게 세는 것.
• 모든 합동 계열에서 5-Selmer 군의 평균 크기가 조건과 무관하게 항상 6임을 이용하는 것.
• Dokchitser–Dokchitser 정리(루트 수와 5-Selmer 랭크의 기수성 사이의 관계)를 활용하여, 루트 수의 등분포를 Selmer 랭크 경계와 연결하는 것.
• 55.01% 이상의 조밀도를 가진 가중치에서 평균 5-Selmer 크기와 루트 수의 등분포를 조합하여, 가중 평균을 통해 평균 랭크를 경계하는 것.
• 5-Selmer 군 크기와 루트 수 기수성의 부등식 제약 조건을 적용하여, 랭크 0 또는 1인 곡선의 조밀도에 하한을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높이에 따라 순서를 매긴 ℚ 위의 타원곡선에 대해 5-Selmer 군의 평균 크기는 무엇인가?
• RQ2 동일한 순서 기준 하에서 ℚ 위의 타원곡선의 평균 랭크는 무엇이며, 그것의 상한을 구할 수 있는가?
• RQ3 ℚ 위의 타원곡선 중 랭크 0 또는 1을 가진 비율은 얼마이며, 랭크 0인 곡선의 최소 조밀도는 얼마인가?
• RQ4 큰 타원곡선 가중치에서 루트 수의 등분포는 평균 5-Selmer 랭크에 대한 경계를 암시하는가?
• RQ5 5-Selmer 군의 평균 크기가 6이라는 것은 p=5일 때 Poonen–Raines 히ュ리스틱을 확인하는가?

주요 결과

• 높이에 따라 순서를 매긴 ℚ 위의 타원곡선에 대해 5-Selmer 군의 평균 크기는 정확히 6이다.
• ℚ 위의 타원곡선의 평균 랭크는 0.885 이하이며, 이는 평균 랭크가 유한하고 1보다 작다는 것을 보장하는 첫 번째 무조건적 증명이다.
• 높이에 따라 순서를 매긴 ℚ 위의 타원곡선 중 최소 83.75%는 랭크 0 또는 1이다.
• 최소 20.62%의 ℚ 위의 타원곡선은 랭크 0이며, 타테–샤파레비치 군의 유한성 가정 하에 최소 26.12%는 랭크 1이다.
• 계수 A와 B에 대해 유한 개의 합동 조건을 부여하는 임의의 타원곡선 가중치에서 5-Selmer 군의 평균 크기는 항상 6이다.
• 루트 수가 등분포된(50% +1, 50% −1) 타원곡선 가중치는 평균 5-Selmer 랭크 ≤0.75이며, 5-Selmer 랭크가 0 또는 1인 곡선의 조밀도가 최소 7/8이다.