[논문 리뷰] The axiomatic deduction of the quadratic Hencky strain energy by Heinrich Hencky

Patrizio Neff, Bernhard Eidel외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 17.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 7인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 1928년 히놀드 헤인리히 헨크니의 원본 논문을 충실하게 영어로 번역하고 주석을 달았다. 이 논문은 유한 변형에 대해 변형 속도 텐서와 초과 원리에 기반한 변분 원리와 함께 로그 변형률 텐서를 사용하여 이차 헨크니 변형 에너지 함수를 유도한다. 이는 회전 불변성과 일관된 응력-변형률 관계를 갖는 비선형 탄성 이론의 기초 틀을 구축한다.

ABSTRACT

The introduction of the quadratic Hencky strain energy based on the logarithmic strain tensor log V is a milestone in the development of nonlinear elasticity theory in the first half of the 20th century. Since the original manuscripts are written in German, they are not easily accessible today. However, we believe that the deductive approach taken by Hencky deserves to be rediscovered today. In this work we have gathered parts of the original contributions "Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen", "Welche Umstände bedingen die Verfestigung bei der bildsamen Verformung von festen isotropen Körpern?" and "Das Superpositionsgesetz eines endlich deformierten relaxationsfähigen elastischen Kontinuums und seine Bedeutung für eine exakte Ableitung der Gleichungen für die zähe Flüssigkeit in der Eulerschen Form" which center around this deductive approach. We tried to provide, for the first time, a faithful translation into English. All footnotes are our addition.

연구 동기 및 목표

• Hencky의 원본 공리적 유도를 복원하고 영어로 번역하여 독일어로 된 원문이 접근하기 어려운 상태를 해결한다.
• 비선형 탄성 이론에서 이차 헨크니 에너지 모델의 물리적 및 수학적 기초를 명확히 한다.
• 유한 변형 하에서 초과 원리와의 일관성을 입증한다.
• 로그 변형률 텐서와 변형 속도 장을 사용하여 변형 에너지를 불변 기반으로 엄밀하게 유도한다.
• 이차 헨크니 에너지가 유한 탄성에 대해 최소이며 물리적으로 일관된 모델임을 이론적으로 기초화한다.

제안 방법

• 변형 속도 텐서와 응력 변화율에 변분 원리를 적용하여 회전 불변성을 확보한다.
• 주변형률을 통해 로그 변형률 텐서를 도입하며, 변형률 측정치를 $ e_i = 1 - 1/\lambda_i $ 로 정의한다. 여기서 $ \lambda_i $ 는 주변형률이다.
• 자기 기준 프레임에서 응력 텐서의 시간 도함수를 고려하여 유한 변형에 대해 초과 원리를 적용하며, 스핀 텐서를 통해 코리olis 유사 항을 포함한다.
• 응력 텐서를 변형률 텐서의 급수 전개로 표현하여 소규모 변화에 대해 선형화된 초과 원리 법칙을 도출한다.
• 임의의 유한 변형에 대해 유효한, 응력 변화율과 변형 속도 텐서, 변형률 텐서 간의 관계를 나타내는 핵심 식 (8b)를 유도한다.
• 식 (8c)의 급수 전개를 통해 응력 텐서에서 변형률 텐서를 제거하여 응력 불변량으로 표현된 변형 에너지의 닫힌 형태 표현식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 empirical 피팅에 의존하지 않고, 제1원리에서 이차 헨크니 변형 에너지를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 유한 변형 하에서 회전 불변성과 초과 원리와의 일관성을 보장하는 변형 에너지 함수의 적절한 수학적 형태는 무엇인가?
• RQ3 왜 로그 변형률 텐서가 유한 탄성에 적합한 척도이며, 이상 탄성체의 물리적 거동과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 유한 탄성의 맥락에서 응력과 변형에 대해 선형 초과 원리 법칙이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 왜 변형 에너지 함수는 응력 텐서의 급수 전개로 표현될 수 있으며, 이차 항의 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 변형 에너지 함수는 로그 변형률 텐서의 이차 함수로 유도되어 회전 불변성과 초과 원리와의 일관성을 보장한다.
• 초과 원리의 법칙은 임의의 변형 크기에서 유효한 급수 전개 형태(식 8b)로 유도된다.
• 변형률 텐서 $ e_{m n} $ 는 응력 텐서 $ \sigma'_{m n} $ 에 대한 급수로 표현되며, 소규모 변형에서는 이차 항이 주요 기여를 한다.
• 유도 과정은 이차 헨크니 에너지 모델이 초과 원리와 회전 불변성을 만족하는 최소의 일관된 모델임을 보여준다.
• 응력 변화율 식 (9a)와 (9b)는 소규모 변화에서 고전적인 선형화된 형태로 축소되어 무한소 탄성과의 일관성을 확인한다.
• 이 방법은 최종 식에서 변위 장을 완전히 제거하여 응력-변형률 관계가 변형 속도와 회전 장에만 의존한다는 것을 보여준다.