[논문 리뷰] The $B_\infty$-structure on the derived endomorphism algebra of the unit in a monoidal category

Wendy Lowen, Michel Van den Bergh|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 13.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 충분한 프로젝티브를 지닌 모노이드 범주와 프로젝티브 함자를 갖는 경우, 텐서 단위의 유도 내부자기환의 $B_\infty$-대수 구조를 수립한다. 단위의 프로젝티브 분해에 $A_\infty$-코알제브라 구조를 올려, 이 분해의 코호크실 복합체는 유도 내부자기환과 $B_\infty$-대수로서 준위상동형인 $B_\infty$-대수를 제공한다. 이는 대수 위의 이중모듈러의 고전적 호크실 코homology 결과를 복구하고 일반화한다.

ABSTRACT

Consider a monoidal category which is at the same time abelian with enough projectives and such that projectives are flat on the right. We show that there is a $B_{\infty}$-algebra which is $A_{\infty}$-quasi-isomorphic to the derived endomorphism algebra of the tensor unit. This $B_{\infty}$-algebra is obtained as the co-Hochschild complex of a projective resolution of the tensor unit, endowed with a lifted $A_{\infty}$-coalgebra structure. We show that in the classical situation of the category of bimodules over an algebra, this newly defined $B_{\infty}$-algebra is isomorphic to the Hochschild complex of the algebra in the homotopy category of $B_{\infty}$-algebras.

연구 동기 및 목표

• 모노이드 범주에서 충분한 프로젝티브를 지닌 경우, 텐서 단위의 유도 내부자기환에 대한 $B_\infty$-대수 구조를 수립한다.
• 기존의 대수 위의 이중모듈러에 국한되지 않은 모노이드 범주로 코호크실 코homology에 대한 델리그의 추측을 일반화한다.
• 프로젝티브 분해의 코호크실 복합체를 사용하여 $B_\infty$-구조의 새로운 직접적 구성법을 제시한다.
• 기본적인 경우 $\mathrm{Bimod}(A)$에서 이 구성법이 유도 범주에서 대수 $A$의 호크실 복합체와 $B_\infty$-대수로서 동형이 됨을 보인다.
• 단위의 분해와 관련된 코호크실 복합체와 호크실 복합체 간의 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• 프로젝티브의 평탄성과 정확성 조건을 이용해, 텐서 단위 $I$ 위의 자명한 $A_\infty$-코알제브라 구조를 $I$의 프로젝티브 분해 $P$로 올린다.
• 후보 $B_\infty$-대수로 코호크실 복합체 $\mathbf{C}_{\mathrm{coHoch}}(P) = \prod_n \Sigma^{-n} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(P, P^{\otimes n})$ 를 구성한다.
• 코호크실 미분과 코브레이스 연산을 부여하여, 호크실 복합체의 이중 구조인 $B_\infty$-구조를 형성한다.
• 코호크실 복합체와 유도 내부자기환 $\mathrm{REnd}_{\mathcal{A}}(I)$ 사이의 $A_\infty$-준위상동형을 확립한다.
• $\mathcal{A} = \mathrm{Bimod}(A)$ 인 경우, 바 분해 $\tilde{B}A$ 의 코호크실 복합체가 유도 범주에서 $A$의 호크실 복합체와 $B_\infty$-대수로서 동형임을 증명한다.
• 유도 범주에서의 준위상동형과 호환성을 확보하기 위해, 호모토피 프로젝티비티와 $k$-프로젝티비티 가정을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 충분한 호모로지적 구조를 지닌 모노이드 범주에서, 텐서 단위의 유도 내부자기환에 대해 $B_\infty$-대수 구조를 자연스럽게 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 범주에서 단위의 프로젝티브 분해의 코호크실 복합체는 유도 내부자기환과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 기본적인 경우 $\mathrm{Bimod}(A)$ 에서 바 분해 $\tilde{B}A$ 의 코호크실 복합체는 $B_\infty$-대수로서 $A$의 호크실 복합체와 준위상동형인가?
• RQ4 유도 범주에서 호크실 복합체와 코호크실 복합체의 $B_\infty$-구조 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 고차 범주론적 또는 옵레이다이드 기반의 도구 없이도, 유도 내부자기환의 $B_\infty$-구조를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 충분한 프로젝티브와 평탄한 프로젝티브 함자를 지닌 모노이드 범주 $\mathcal{A}$ 에서 텐서 단위의 유도 내부자기환 $\mathrm{REnd}_{\mathcal{A}}(I)$ 는 $B_\infty$-대수 구조를 갖는다.
• 이 $B_\infty$-구조는 단위의 프로젝티브 분해 $P$ 의 코호크실 복합체에서 유도된, 올려진 $A_\infty$-코알제브라 구조로부터 유도된다.
• 유도된 $B_\infty$-대수는 $\mathrm{REnd}_{\mathcal{A}}(I)$ 와 $A_\infty$-준위상동형이 되며, 이는 $B_\infty$-구조의 새로운 직접적 구성법을 제공한다.
• 기본적인 경우 $\mathcal{A} = \mathrm{Bimod}(A)$ 에서 바 분해 $\tilde{B}A$ 의 코호크실 복합체는 유도 범주에서 $A$의 호크실 복합체와 $B_\infty$-대수로서 동형이다.
• 이 구성법은 이전의 쇼이케트와 에르만의 결과를 복구하고 일반화하여, 모노이드 범주에서의 $B_\infty$-구조에 대한 통합적 시각을 제공한다.
• 호크실 복합체는 비영인 브레이스를 지닌 반면 코호크실 복합체는 비영인 코브레이스를 지닌다. 그러나 이 둘은 유도적 맥락에서 $B_\infty$-대수로서 동형이 되며, 이는 이중성의 반영이다.