[논문 리뷰] The Barrier Surface in the Cooperative Football Differential Game

Eloy García, David W. Casbeer외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 05.

Guidance and Control Systems참고 문헌 23인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 두 명의 추격자와 한 명의 회피자가 참여하는 협동형 축구 미분게임에 대해 게임의 종류를 해결하며, 상태 공간을 추격자 팀과 회피자 팀의 승리 영역으로 나누는 폐쇄형으로 표현된 장벽 표면을 명시적으로 구성한다. 아폴로니우스 원과 기하 분석을 사용하여 등속도 및 빠른 추격자 상황에서 장벽 표면의 명시적 표현을 유도함으로써 최적의 플레이 하에 승패 결과를 실시간으로 판단할 수 있다.

ABSTRACT

This paper considers the blocking or football pursuit-evasion differential game. Two pursuers cooperate and try to capture the ball carrying evader as far as possible from the goal line. The evader wishes to be as close as possible to the goal line at the time of capture and, if possible, reach the line. In this paper the solution of the game of kind is provided: The Barrier surface that partitions the state space into two winning sets, one for the pursuer team and one for the evader, is constructed. Under optimal play, the winning team is determined by evaluating the associated Barrier function.

연구 동기 및 목표

• 두 추격자, 한 명의 회피자가 참여하는 협동형 추격-회피 게임의 최종 결과를 사전에 결정하는 것, 즉 게임의 종류를 해결하는 것.
• 상태 공간을 추격자 팀의 승리 영역과 회피자의 승리 영역으로 나누는 폐쇄형으로 표현된 장벽 표면을 명시적으로 구성하는 것.
• 이전 연구를 일반화하여 등속도 케이스와 추격자가 서로 다른 속도를 가질 경우, 특히 더 빠른 추격자가 존재하는 경우를 모두 다루는 것.
• 원과 쌍곡선을 사용한 기하학적 해석이 가능한 장벽 표면의 단면을 제공함으로써, 덜 명시적인 '기저 곡선' 접근 방식보다 개선된 것.
• 초기 상태 기반으로 팀의 승패 여부를 실시간으로 평가할 수 있도록 계산적으로 다룰 수 있는 방법을 제공함으로써 자율 시스템의 의사결정을 지원하는 것.

제안 방법

• 장벽 표면은 해밀턴-자코비-아이사이트이츠(HJI) 방정식 프레임워크를 사용하여 유도되며, 각 추격자-회피자 쌍에 대해 아폴로니우스 원 기하학을 활용해 명시적 해를 도출한다.
• 해는 6차원 상태 공간을 두 영역으로 분할한다: 하나는 회피자가 골라인에 도달하여 승리하는 영역이고, 다른 하나는 추격자가 골라인에 도달하기 전에 포획하여 승리하는 영역이다.
• 장벽의 각 영역에 대해 활성 추격자(들)를 식별하고, 해당 기하 조건을 유도한다: 아폴로니우스 원이 골라인 또는 경기장 경계에 접촉하는 조건.
• 장벽 표면은 추격자와 골라인에 대한 회피자의 위치에 따라 다섯 가지 다른 케이스로 조각별로 구성되며, 각 케이스는 이차 방정식으로 정의된다.
• 장벽 표면의 단면은 추격자의 위치를 고정함으로써 2차원으로 투영되며, 이는 원호와 쌍곡선으로 이루어진 구간을 통해 승리 집합의 경계를 묘사한다.
• 이 방법은 다수의 추격자에 일반화 가능하며, 다수의 회피자가 존재할 경우에도 할당 기반 분해가 가능하여 해의 타당성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 추격자와 한 명의 회피자가 참여하는 협동형 축구 미분게임에서, 승리 영역을 분리하는 장벽 표면의 명시적 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ2 추격자가 서로 다른 속도를 가질 경우 등속도 케이스와 비교해 장벽 표면은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 장벽 표면은 '기저 곡선'과 같은 암묵적이거나 비기하학적 구성 요소에 의존하지 않고 폐쇄형으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 아폴로니우스 원은 최적의 포획 조건과 승리 집합 간 경계를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 장벽 표면을 사용하여 최적의 플레이 하에 회피자 또는 추격자 팀이 승리하는지 실시간으로 판단할 수 있는가?

주요 결과

• 등속도 케이스와 빠른 추격자 케이스 모두에 대해 장벽 표면이 폐쇄형으로 명시적으로 구성되었으며, 암묵적이거나 수치적 근사에 의존하지 않는다.
• 장벽 표면의 단면은 원과 쌍곡선으로 구성된 다섯 개의 구체적인 호로 이루어져 있으며, 이는 승리 경계의 명확한 기하학적 해석을 제공한다.
• 등속도 케이스에서는 아폴로니우스 원이 골라인에 접촉하는 조건을 사용하여, 조각별 이차 표현을 도출한다.
• 다른 속도를 가진 빠른 추격자 케이스에서는 상대 속도 비율 γ₁과 γ₂를 고려하여, 회피자의 위치에 따라 다른 기하학적 영역이 형성된다.
• 장벽 표면은 6차원 상태 공간에 존재하지만, 그 단면은 해석적으로 다룰 수 있고 2차원에서 시각화 가능하여 제어 시스템에 실질적인 구현이 가능하다.
• 이 방법을 통해 초기 상태에서 장벽 함수를 평가함으로써 즉각적으로 승리 팀을 판단할 수 있으며, 포획 방식(단일 또는 이중 추격자)에 대한 추가적인 통찰도 제공한다.