[논문 리뷰] The basic locus of the unitary Shimura variety with parahoric level structure, and special cycles

Sungyoon Cho|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 16인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 정수환에 대한 단위군 시무라 다양체의 파라호리 수준 구조를 고려하여 기본 위치의 기하적 구조를 조사한다. 이에 따라 균형화된 형식 스킴(라포포르트-지نك 공간)의 기하적 구성 요소들이 딜리뉴-루스티그 다양체임을 보이며, 이들의 교차 패턴은 브라하트-티츠 건물에 의해 결정된다. 또한 이 공간에서 특수 사이클을 정의하고 그들의 교차 중복도를 계산하여 p-진 시무라 다양체의 맥락에서 산술적 교차 이론의 기하적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the basic locus in the fiber at $p$ of a certain unitary Shimura variety with a certain parahoric level structure. The basic locus $\widehat{\mathcal{M}^{ss}}$ is uniformized by a formal scheme $\mathcal{N}$ which is called Rapoport-Zink space. We show that the irreducible components of the induced reduced subscheme $\mathcal{N}_{red}$ of $\mathcal{N}$ are Deligne-Lusztig varieties and their intersection behavior is controlled by a certain Bruhat-Tits building. Also, we define special cycles in $\mathcal{N}$ and study their intersection multiplicities.

연구 동기 및 목표

• 정수환에 대한 단위군 시무라 다양체의 기본 위치의 기하적 구조를 이해하기 위해.
• 이 위치와 관련된 균형화된 형식 스킴(Rapoport-Zink 공간)의 성질을 분석하고, 그 기하적 구성 요소의 성격을 규명하기 위해.
• 브라하트-티츠 건물의 조합론을 이용하여 이러한 구성 요소 간의 교차 행동을 기술하기 위해.
• 라포포르트-지نك 공간에서 특수 사이클을 정의하고 그들의 교차 중복도를 연구하기 위해.

제안 방법

• 라포포르트-지نك 균형화 정리의 활용을 통해 기본 위치를 p-진 형식 스킴에 의해 균형화된 형식 스킴으로 실현하기 위해.
• 균형화된 형식 스킴의 기저 부분 스킴의 기하적 구성 요소를 딜리뉴-루스티그 다양체로 식별하기 위해.
• 관련된 브라하트-티츠 건물의 구조를 활용하여 이러한 구성 요소 간의 포함 관계와 교차 관계를 기술하기 위해.
• 산술 부분군과 히크 연산자를 이용하여 라포포르트-지نك 공간에서 특수 사이클을 정의하기 위해.
• 형식 스킴 위의 교차 이론을 적용하여 이러한 특수 사이클의 교차 중복도를 계산하기 위해.
• 단위군 시무라 다양체와 관련된 군의 작용을 활용하여 기하적 구성과 표현 이론적 자료를 연결하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라포포르트-지نك 공간의 기본 위치와 관련된 균형화된 특수 섬유의 기하적 구성 요소의 기하적 구조는 무엇인가요?
• RQ2 균형화된 형식 스킴의 기하적 구성 요소는 어떻게 상호작용하며, 그 교차 패턴을 결정짓는 요소는 무엇인가요?
• RQ3 이 단위군 시무라 다양체의 라포포르트-지نك 공간 맥락에서 특수 사이클의 정확한 정의와 기하적 의미는 무엇인가요?
• RQ4 이러한 특수 사이클의 교차 중복도는 어떻게 계산할 수 있으며, 그들이 지닌 산술적 의미는 무엇인가요?
• RQ5 브라하트-티츠 건물은 기본 위치의 구성 요소 간의 포함 기하학을 어느 정도까지 캐릭터라이즈합니까?

주요 결과

• 균형화된 형식 스킴의 기저 부분 스킴의 기하적 구성 요소들은 딜리뉴-루스티그 다양체와 동형임을 보였다.
• 이 구성 요소들의 교차 패턴은 시무라 다양체의 군과 관련된 브라하트-티츠 건물의 조합론에 의해 결정된다.
• 라포포르트-지نك 공간에서 특수 사이클은 잘 정의되어 있으며, 산술 부분군을 통한 기하적 구성이 가능하다.
• 이 특수 사이클의 교차 중복도는 유한하며, 형식 스킴의 교차 이론을 통해 계산할 수 있다.
• 균형화된 형식 스킴은 제어된 포함 관계를 갖는 딜리뉴-루스티그 다양체들의 합집합으로서 기본 위치를 실현한다.
• 전체 기하 구조는 단위군 시무라 다양체의 군 작용과 호환되며, 기하학과 표현 이론을 연결한다.