[논문 리뷰] The Basins of Attraction in a Modified May-Holling-Tanner Predator-Prey Model with Allee Effect

Claudio Arancibia–Ibarra|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 29.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 기능 반응, 피식자에서의 알레 효과, 그리고 육식자에게 대체 먹이를 고려한 수정된 마이-홀링-테너 피식자-포식자 모델을 분석한다. 동역학 시스템 이론을 활용하여 공존, 진동, 멸종을 분리하는 분리자와 안정성 영역을 규명하고, 안장-노드, 허프, 보그다노프-타켄스 분기의 존재를 증명하며, 강한 알레 효과가 공존 영역을 감소시키고 매개변수 변화에 대한 민감도를 증가시킨다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We analyse a modified May-Holling-Tanner predator-prey model considering an Allee effect in the prey and alternative food sources for predator. Additionally, the predation functional response or predation consumption rate is linear. The extended model exhibits rich dynamics and we prove the existence of separatrices in the phase plane separating basins of attraction related to oscillation, co-existence and extinction of the predator-prey population. We also show the existence of a homoclinic curve that degenerates to form a limit cycle and discuss numerous potential bifurcations such as saddle-node, Hopf, and Bogadonov-Takens bifurcations. We use simulations to illustrate the behaviour of the model.

연구 동기 및 목표

• 강한 또는 약한 알레 효과가 수정된 올링-테너 모델에서 피식자-포식자 동역학에 미치는 영향을 연구하기 위해.
• 육식자의 대체 먹이가 시스템의 안정성과 공존에 미치는 영향을 분석하기 위해.
• 매개변수 변화가 안정성 영역의 형태를 어떻게 결정짓고 장기적 인구 결과를 이끌어내는지 조사하기 위해.
• 안장-노드, 허프, 보그다노프-타켄스와 같은 분기를 식별하고 특성화하기 위해.
• 알레 임계값과 육식자의 증식률이 공존 영역의 크기와 구조에 미치는 영향을 규명하기 위해.

제안 방법

• 알레 효과와 대체 먹이를 포함한 원래 모델의 분석을 단순화하기 위해 미분동형을 통한 위상적으로 동일한 시스템을 유도하였다.
• 자기값의 합을 이용한 자코비안 행렬 분석을 통해 평형점의 안정성을 평가하였으며, 특히 $P_3$, $P_4$, $P_2$에 중점을 두었다.
• 분리자( separatrices )는 주로 안정성 다발이 있는 안장 평형점 $P_1$의 안정 다발로 식별되었으며, 이는 안정성 영역을 분리한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 안정성 영역을 시각화하고, 다양한 매개변수 조건에서의 동적 전이를 설명하였다.
• 분기 다이어그램과 매개변수 스윕을 활용하여 안장-노드, 허프, 보그다노프-타켄스 분기를 규명하였다.
• 감도 분석과 공존 영역 평가를 위해 $S = s/(Kr)$, $M$, $Q$, $C$를 변화시켜 모델을 분석하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 알레 효과를 포함함으로써 수정된 마이-홀링-테너 모델에서 안정성 영역이 어떻게 변화하는가?
• RQ2 안정 다발이 있는 $P_1$의 역할이 장기적 결과인 공존과 멸종을 분리하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ3 어떤 매개변수 조건에서 시스템이 안장-노드 분기를 겪으며, 이는 평형점의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 육식자의 내재적 증식률 $s$ 또는 피식자의 수용 능력 $K$가 변화할 경우, 공존 영역의 크기는 어떻게 변하는가?
• RQ5 알레 임계값 $m$은 피식자-포식자 공존의 안정성과 지속 가능성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 일 때 $(0, C)$ 평형점은 전역적으로 안정하며, 이는 피식자가 멸종하고 육식자가 대체 먹이를 통해 생존함을 의미한다.
• 일 때 $S_k < S < S_k^*$, 평형점 $P_3$는 안정한 한계 사이클을 둘러싸며, 지속적인 인구 진동을 나타낸다.
• 일 때 $S > S_k^*$, 평형점 $P_3$는 안정해지며, 진동 없이 공존을 의미한다.
• 알레 효과는 양의 평형점에 대한 안정성 영역을 감소시키며, 특히 강한 알레 조건에서는 멸종 위험이 증가한다.
• 판별식 $\Delta = 0$일 때 시스템은 안장-노드 분기를 겪으며, 이는 평형점의 생성 또는 소멸을 유도한다.
• 매개변수 $S = f(E)$에서 정점점에서 보그다노프-타켄스 분기가 발생하며, 이는 다중 분기와 관련된 복잡한 동적 전이를 나타낸다.