[논문 리뷰] The Batchelor spectrum of passive scalar turbulence in stochastic fluid mechanics

Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 25.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 난류 유체에서 수동 스칼라 스펙트럼에 대한 Batchelor의 1959년 예측에 대한 첫 번째 엄밀한 수학적 증명을 제공한다. 소수성의 한계($\kappa \to 0$)에서 2차원 및 3차원 확률적 나비에-스토크스 흐름에서 수동 스칼라의 누적 전력 스펙트럼이 작은 스케일에서 $|k|^{-1}$ 스케일링으로 수렴함을 보여준다. 이 결과는 라그랑주 혼돈과 스칼라 혼합의 정량적 분석을 통해 확립되며, 비정상적인 유량과 예측된 Batchelor 스펙트럼을 지닌 $H^{-\epsilon}$에서 통계적으로 정적 약한 해를 도출한다.

ABSTRACT

In 1959, Batchelor predicted that passive scalars advected in fluids at finite Reynolds number with small diffusivity $\kappa$ should display a $|k|^{-1}$ power spectrum over a small-scale inertial range in a statistically stationary experiment. This prediction has been experimentally and numerically tested extensively in the physics and engineering literature and is a core prediction of passive scalar turbulence. In this article we provide the first mathematically rigorous proof of Batchelor's prediction on the cumulative power spectrum in the $\kappa o 0$ limit. We consider fluids governed by the 2D Navier-Stokes equations and 3D hyperviscous Navier-Stokes equations in $\mathbb{T}^d$ forced by sufficiently regular, nondegenerate stochastic forcing at fixed (arbitrary) Reynolds number. The scalar is subjected to a smooth-in-space, white-in-time stochastic source, and evolves by advection-diffusion with diffusivity $\kappa > 0$. Our results rely on the quantitative understanding of Lagrangian chaos and passive scalar mixing established in our recent works. In the $\kappa o 0$ limit, we obtain statistically stationary, weak solutions in $H^{-\epsilon}$ to the stochastically-forced advection problem without diffusivity. These solutions are almost-surely not locally integrable functions, have a non-vanishing average anomalous flux, and satisfy the Batchelor spectrum at all sufficiently small scales. We also prove an Onsager-type criticality result which shows that no such dissipative, weak solutions with a little more regularity can exist.

연구 동기 및 목표

• 소수성의 한계에서 난류 흐름에서 수동 스칼라의 $|k|^{-1}$ 전력 스펙트럼을 엄밀히 증명하는 것.
• 소수성의 한계($\kappa \to 0$)에서 소수성이 없는 광역성의 약한 해가 존재함을 증명하는 것, 이는 $H^{-\epsilon}$ 공간에서의 통계적 정적 해로서.
• 이러한 해들이 비소멸적인 평균 비정상적 유량을 보이며, 난류 스칼라 이동과 일치함을 보여주는 것.
• 온세거 유형의 임계성 결과를 증명하는 것 — 즉, 약간 더 높은 정규성 조건을 가진 소산성 약한 해는 관측된 비정상적 유량을 지탱할 수 없다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 고정 레이놀즈 수에서 비퇴도성, 충분히 규칙적인 확률적 외력에 의해 영향을 받는 2차원 나비에-스토크스 방정식과 3차원 초점성 나비에-스토크스 방정식의 분석.
• 소수성 $\kappa > 0$가 작은 조건에서, 공간적으로 매끄럽고 시간에 따라 백색인 확률적 원천에 의해 구동되는 이동-확산 방정식을 통한 스칼라 진화 연구.
• 이전 연구에서 확보된 라그랑주 혼돈과 수동 스칼라 혼합에 대한 정량적 결과를 활용하여 스칼라 장의 소규모 행동을 제어하는 것.
• 통계적 정적성과 약한 해 이론을 이용하여 $\kappa \to 0$ 근처에서 누적 전력 스펙트럼이 $|k|^{-1}$ 형태로 수렴함을 증명하는 것.
• $\kappa \to 0$ 근처에서 소수성이 없는 한계 방정식에 대해 $H^{-\epsilon}$ 공간에서 약한 해의 존재를 도출하며, 이들이 거의 확실히 국소 적분 가능 함수가 아니라는 것을 보여주는 것.
• 높은 정규성 조건을 가진 해가 비정상적 유량을 지탱할 수 없음을 보여주는 온세거 유형의 임계성 결과를 증명하는 것 — 즉, $H^{-\epsilon}$보다 약간 더 높은 정규성 조건을 가진 해는 관측된 비정상적 유량을 지탱할 수 없다는 것을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 유체 흐름에서 나비에-스토크스 방정식에 의해 지배되는 수동 스칼라에서 $\kappa \to 0$ 근처에서 Batchelor 스펙트럼 $|k|^{-1}$ 가 나타나는가?
• RQ2 소수성이 없는 광역성 문제의 한계 약한 해의 정규성과 통계적 구조는 무엇인가?
• RQ3 $\kappa \to 0$ 근처에서 비정상적 유량이 스칼라 이동에서 엄밀히 증명될 수 있는가?
• RQ4 온세거 추측에서 에너지 보존에 대한 비슷한 임계 정규성 임계값이 존재하는가? 즉, 비정상적 유량을 지탱할 수 없는 소산성 약한 해의 정규성 임계값이 존재하는가?

주요 결과

• $\kappa \to 0$ 근처에서 수동 스칼라의 누적 전력 스펙트럼이 모든 충분히 작은 스케일에서 Batchelor가 예측한 $|k|^{-1}$ 스케일링으로 수렴한다.
• 한계 약한 해는 $H^{-\epsilon}$에 존재하며, 거의 확실히 국소 적분 가능 함수가 아니므로 소규모에서 특이 행동을 보임을 나타낸다.
• 이러한 해들은 비소멸적인 평균 비정상적 유량을 보이며, 소수성이 없는 조건에서 난류 스칼라 이동이 실제로 발생함을 확인한다.
• 이 해들은 통계적으로 정적이며, 소수성이 작은 양수인 $\kappa > 0$에 대한 이동-확산 방정식의 해들의 극한으로 유도된다.
• 온세거 유형의 임계성 결과가 증명되었으며, $H^{-\epsilon}$보다 더 높은 정규성 조건을 가진 소산성 약한 해는 극한에서 관측된 비정상적 유량을 지탱할 수 없다는 것을 보여준다.
• 결과는 비퇴도성, 충분히 규칙적인 확률적 외력 조건 하에서 2차원 나비에-스토크스 방정식과 3차원 초점성 나비에-스토크스 방정식 모두에 대해 성립한다.