[논문 리뷰] The Betti map associated to a section of an abelian scheme (with an appendix by Z. Gao)

Yves André, Pietro Corvaja외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 아벨 스킴의 단면의 베티 사상과 압축된 코다이라-스펜서 사상의 질량 간 정확한 연결을 확립하며, 비자명한 자기사상이 없고 모듈리 공간에서 이미지의 차원이 ≥ g인 자연스러운 조건 하에서, 베티 사상이 일반적으로 부분다발이 됨을 증명한다. 이는 단면의 토피컬 값이 기저에서 자리지-밀도성을 띤다는 것을 의미하며, 아벨 스킴에 대한 지르버-핀크 추측의 핵심 케이스를 확인한다.

ABSTRACT

Given a point $ξ$ on a complex abelian variety $A$, its abelian logarithm can be expressed as a linear combination of the periods of $A$ with real coefficients, the Betti coordinates of $ξ$. When $(A, ξ)$ varies in an algebraic family, these coordinates define a system of multivalued real-analytic functions. Computing its rank (in the sense of differential geometry) becomes important when one is interested about how often $ξ$ takes a torsion value (for instance, Manin's theorem of the kernel implies that this coordinate system is constant in a family without fixed part only when $ξ$ is a torsion section). We compute this rank in terms of the rank of a certain contracted form of the Kodaira-Spencer map associated to $(A, ξ)$ (assuming $A$ without fixed part, and $\mathbb{Z} ξ$ Zariski-dense in $A$), and deduce some explicit lower bounds in special situations. For instance, we determine this rank in relative dimension $\leq 3$, and study in detail the case of jacobians of families of hyperelliptic curves. Our main application, obtained in collaboration with Z. Gao, states that if $A o S$ is a principally polarized abelian scheme of relative dimension $g$ which has no non-trivial endomorphism (on any finite covering), and if the image of $S$ in the moduli space $\mathcal{A}_g$ has dimension at least $g$, then the Betti map of any non-torsion section $ξ$ is generically a submersion, so that $ξ^{-1}A_{tors}$ is dense in $S(\mathbb{C})$.

연구 동기 및 목표

• 가환 다양체의 가군에서 단면의 베티 좌표의 변화를 이해하기 위해.
• 가군의 기하학적 불변량에 따라 베티 사상의 일반적인 질량을 결정하기 위해.
• 비토르션 단면의 토피컬 값이 기저에서 자리지-밀도성을 띠는 조건을 설정하기 위해.
• 지르버-핀크 추측의 맥락에서 조밀성 결과를 증명하기 위해 액스-샤날렐 정리를 적용하기 위해.

제안 방법

• 베티 사상은 아벨 다양체의 복소 균형화에서 단면의 이미지의 실해석적 업그레이드로 정의된다.
• 압축된 코다이라-스펜서 사상의 질량을 통해 베티 사상의 일반적인 질량을 계산한다.
• 가우스-마이너 연결 이론과 미분기하학적 도구를 사용하여 베티 사상과 호지 구조의 변화를 연결한다.
• 시무라 다양체의 맥락에서 액스-샤날렐 정리를 적용하여 이중대수적 폐쇄의 차원을 제어한다.
• 해석을 초등적 곡선의 양태와 자명한 자기사상환을 가진 아벨 스킴으로 특수화한다.
• 핵심 기술적 도구로 시겔 상반평면 내의 로그 액스 정리와 약하게 특수한 부분다양체를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비토르션 단면의 아벨 스킴에서의 베티 사상이 일반적으로 부분다발이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 고정된 부분이 없는 가군에서, 베티 사상의 질량은 코다이라-스펜서 사상의 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 단면의 토피컬 값 집합이 기저 스킴에서 자리지-밀도성을 띠는 경우는 언제인가?
• RQ4 가환 다양체의 모듈리 공간에서 단면의 이중대수적 폐쇄의 정확한 차원은 얼마인가?
• RQ5 액스-샤날렐 정리는 어떤 식으로 모듈리 이미지가 큰 가군에서 토피컬 점의 조밀성을 증명하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 아벨 스킴에 비자명한 자기사상이 없고 기저의 이미지가 모듈리 공간에서 차원 ≥ g를 가지면, 베티 사상은 일반적으로 부분다발이 된다.
• 상대적 차원 ≤ 3인 경우, 베티 사상의 일반적인 질량이 명시적으로 계산되며, 주어진 조건 하에서 최대가 됨을 보였다.
• 초등적 곡선의 양태에서, 베티 사상의 질량은 코다이라-스펜서 사상과 호지 이론의 명시적 분석을 통해 결정된다.
• 모듈리 이미지의 차원이 ≥ g이고 자기사상환의 차원이 자명하면, 비토르션 단면의 토피컬 값은 기저에서 자리지-밀도성을 띤다.
• 모듈리 공간에서 단면의 이중대수적 폐쇄는 약하게 특수한 부분다양체임을 보였으며, 액스-샤날렐 정리를 통해 그 차원이 제어된다.
• 증명은 기저의 호지-일반적인 점의 이중대수적 폐쇄가 전체 약하게 특수한 부분다양체임을 보여주는 데 의존하며, 문드포트-테이트 군의 정규성과 단순성에 기반한다.