[논문 리뷰] The Bi-periodic Fibonacci Octonions

Nazmiye Yılmaz, Yasin Yazlık외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 02.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이중주기 피보나치 수를 옥터니온 대수로 확장하여 이중주기 피보나치 옥터니온을 도입하고, 그 생성함수와 폐쇄형 비네타입 공식을 유도한다. 주요 기여는 이러한 옥터니온에 대한 합공식을 수립하여 이전의 피보나치 및 펠 옥터니온 결과를 일반화하고, 매개변수화된 대수적 구조를 통해 일반화된 피보나치 수열과의 연결고리를 드러내는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, by using bi-periodic Fibonacci numbers, we introduce the bi-periodic Fibonacci octonions. After that, we derive the generating function of these octonions as well as investigated some properties over them. Also, as another main result of this paper, we give the summations for bi-periodic Fibonacci octonions.

연구 동기 및 목표

• 이중주기 피보나치 수의 개념을 옥터니온 대수로 확장하여 새로운 초복소수의 클래스를 창출한다.
• 이중주기 피보나치 옥터니온의 생성함수와 비네타입 공식을 도출한다.
• 새로운 옥터니온 구조에서 대수적 성질, 특히 합공식을 조사한다.
• 매개변수 a와 b를 도입하여 기존의 피보나치 및 펠 옥터니온 결과를 일반화한다.
• 이중주기 수열에 기반한 일반화된 옥터니온을 연구하기 위한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 이중주기 피보나치 옥터니온을 O_n(a,b) = q_n e_0 + q_{n+1} e_1 + q_{n+2} e_2 + ... + q_{n+7} e_7로 정의한다. 여기서 {q_n}은 이중주기 피보나치 수열이다.
• 이중주기 피보나치 수의 비네 공식을 사용하여 α와 β(λ² - abλ - ab = 0의 근)를 이용한 옥터니온의 폐쇄형 표현을 도출한다.
• 기저 스칼라 수열의 생성함수를 사용하여 이중주기 피보나치 옥터니온 수열의 생성함수를 구성한다.
• 기하급수와 α, β의 성질을 이용하여 짝수 및 홀수 인덱스에 대한 ∑O_r(a,b)의 폐쇄형 표현을 도출하기 위해 합산 기법을 적용한다.
• 도출 과정에서 옥터니온의 비결합성 및 비교환성을 유지하면서도 대수적 일관성을 확보한다.
• a = b = 1(피보나치), a = b = 2(펠), a = b = k(k-피보나치)로 설정하여 기존 사례와의 일관성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중주기 피보나치 수열은 어떻게 옥터니온 대수로 확장되어 새로운 초복소수의 클래스를 형성할 수 있는가?
• RQ2 이중주기 피보나치 옥터니온 수열의 생성함수는 무엇인가?
• RQ3 이중주기 피보나치 옥터니온의 부분합에 대한 폐쇄형 합공식은 짝수 및 홀수 인덱스에서 각각 어떻게 표현되는가?
• RQ4 유도된 공식은 기존의 피보나치 및 펠 옥터니온 결과를 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 이중주기 피보나치 옥터니온 구조에서 대칭성 및 재귀성과 같은 대수적 성질은 어떻게 유지되는가?

주요 결과

• 이중주기 피보나치 옥터니온의 생성함수는 스칼라 이중주기 피보나치 수열의 생성함수를 포함하는 유리함수로 도출된다.
• O_n(a,b)에 대한 비네타입 공식이 수립되어, α^n과 β^n을 이용한 표현이 가능하다. 여기서 α와 β는 λ² - abλ - ab = 0의 근이다.
• ∑_{r=0}^{n-1} O_r(a,b)에 대한 합공식이 도출되었으며, 짝수 및 홀수 n에 대해 별개의 표현이 존재한다. 이는 O_{n+1}, O_n, O_{n-1}, O_{n-2} 및 α, β, α*, β*, α**, β**를 포함하는 상수를 포함한다.
• a = b = 1일 때, 결과는 [24]에서 정의한 표준 피보나치 옥터니온으로 축소된다.
• a = b = 2일 때, 결과는 [34]에서 정의한 펠 옥터니온과 일치한다.
• a = b = k일 때, 결과는 k-피보나치 옥터니온을 도출하여 이전 연구의 일반화를 보여준다.