[논문 리뷰] The Birman-Murakami-Algebras Algebras of Type Dn

Arjeh M. Cohen, D. A. H. Gijsbers외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 04. 20.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특정 가환환 $R$ 위에서 $Ω$-형식 $ω_n$ BMW 대수의 자유성과 계수 $(2^n + 1)n!! - (2^{n-1} + 1)n!$을 증명하며, $ℝ(l,\delta)$와 텐서곱을 취할 경우 그 대수가 단순성을 띤다는 것을 보이고, 적절한 환 확장 위에서 세포 대수로서의 성질을 갖는다고 밝힌다. 또한 이 대수는 일반화된 Temperley–Lieb 대수의 자연스러운 부분대수이며, 구면 단순 루트 유형에 대한 BMW 대수의 위상적 및 대수적 기술을 완성한다.

ABSTRACT

The Birman-Murakami-Wenzl algebra (BMW algebra) of type Dn is shown to be semisimple and free of rank (2^n+1)n!!-(2^(n-1)+1)n! over a specified commutative ring R, where n!! is the product of the first n odd integers. We also show it is a cellular algebra over suitable ring extensions of R. The Brauer algebra of type Dn is the image af an R-equivariant homomorphism and is also semisimple and free of the same rank, but over the polynomial ring Z with delta and its inverse adjoined. A rewrite system for the Brauer algebra is used in bounding the rank of the BMW algebra above. As a consequence of our results, the generalized Temperley-Lieb algebra of type Dn is a subalgebra of the BMW algebra of the same type.

연구 동기 및 목표

• 지정된 가환환 $R$ 위에서 $ω_n$ 형식의 BMW 대수가 자유대수임을 증명하는 것.
• BMW 대수가 $R$의 적절한 환 확장 위에서 세포 대수임을 증명하여 $ω_n$ 형식에 대해 알려진 결과를 일반화하는 것.
• 일반화된 Temperley–Lieb 대수의 $ω_n$ 형식이 BMW 및 Brauer 대수의 $ω_n$ 형식의 자연스러운 부분대수임을 보이는 것.
• BMW 대수가 구면 단순 루트 유형에 대해 완전한 대수적 및 위상적 기술을 갖도록 하기 위해, $ω_n$ 형식의 BMW 대수가 tangle 대수 $βκ(ω_n)$와 동형임을 증명하는 것.

제안 방법

• Brauer 대수의 리라이팅 체계를 사용하여 BMW 대수의 계수를 상한으로 제한한다.
• 특수화 및 올림 기법을 통해 Brauer 대수 $ω(ω_n)$의 단항식 기저를 BMW 대수 $β(ω_n)$의 후보 기저로 승격시킨다.
• 높이 함수와 루트 집합 위의 $W$-오빗 순서를 사용하여 대수 내 단항식의 정규 표현을 정의한다.
• 재귀적 알고리즘(알고리즘 9.2)은 빈 집합을 주어진 루트 집합 $B$로 매핑하는 최소 높이의 단어 $A_{B,n}$를 구성하여 기저가 잘 정의되었음을 보장한다.
• 쌍의 정규 루트 집합과 웨일 군 원소로 인덱싱된 세포 기저를 구성함으로써 BMW 대수의 세포성질을 증명한다.
• 루트 집합과 웨일 군 원소로 정의된 tangle 다이어그램과 세포 기저를 일치시킴으로써, BMW 대수와 tangle 대수 $βκ(ω_n)$ 사이의 동형관계를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 환 $R = \mathbb{Z}[\delta, \delta^{-1}, l, l^{-1}, m]/(m(1 - \delta) - (l - l^{-1}))$ 위에서 $ω_n$ 형식의 BMW 대수의 정확한 계수는 무엇인가요?
• RQ2 BMW 대수가 $\mathbb{Q}(l, \delta)$로 확장되었을 때 단순성이 유지되는가요?
• RQ3 BMW 대수가 $R$의 적절한 확장 위에서 세포 구조를 가질 수 있는가요?
• RQ4 일반화된 Temperley–Lieb 대수의 $ω_n$ 형식은 자연스럽게 같은 형식의 BMW 대수의 부분대수로 포함되는가요?
• RQ5 BMW 대수가 추측한 lin $βκ(ω_n)$와 동형임을 증명할 수 있는가요?

주요 결과

• 정리 1.1에 의해, BMW 대수의 $ω_n$ 형식은 환 $R$ 위에서 계수 $(2^n + 1)n!! - (2^{n-1} + 1)n!$의 자유대수임을 증명하였다.
• $\mathbb{Q}(l,\delta)$와 텐서곱을 취할 경우, $ω_n$ 형식의 BMW 대수는 단순성을 띤다.
• 정리 1.2에 따르면, $R$의 정수환 확장 중 $1/2$를 포함하는 모든 환 위에서 $ω_n$ 형식의 BMW 대수는 세포 대수이다.
• 결론 1.3에 의해, 일반화된 Temperley–Lieb 대수의 $ω_n$ 형식은 Brauer 대수 및 BMW 대수의 $ω_n$ 형식의 자연스러운 부분대수이다.
• Brauer 대수의 $ω_n$ 형식은 BMW 대수에서의 $R$--equivariant 호모모르피즘의 상이며, $Ζ[\delta^{\pm 1}]$ 위에서 동일한 계수를 가지며 자유대수임을 확인함으로써 그 구조를 증명하였다.
• BMW 대수의 $ω_n$ 형식과 tangle 대수 $βκ(ω_n)$ 사이의 동형관계가 확립되었으며, 세포 기저 원소들이 루트 집합과 웨일 군 원소로 정의된 tangle 다이어그램과 대응됨을 보였다.