[논문 리뷰] The Black-Scholes Equation and Certain Quantum Hamiltonians

Juan M. Romero, O. González-Gaxiola외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 08.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 표준 운동량의 게이지 유사 변환으로 유도된 수정된 운동량 연산자를 사용하여 비헤르미트 양자역학 프레임워크를 수립한다. 이를 통해 두 개의 허미트와 두 개의 비헤르미트 해밀토니안을 도출한다. 이 프레임워크를 바탕으로 이중 구조를 지닌 일반화된 초대칭 양자역학을 수립하고, 비헤르미트 해밀토니안들이 금융 양자역학의 핵심 해밀토니안들—블랙-쇼스, 일반화된 블랙-쇼스, 장벽 옵션 모델—과 정확히 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper a quantum mechanics is built by means of a non-Hermitian momentum operator. We have shown that it is possible to construct two Hermitian and two non-Hermitian type of Hamiltonians using this momentum operator. We can construct a generalized supersymmetric quantum mechanics that has a dual based on these Hamiltonians. In addition, it is shown that the non-Hermitian Hamiltonians of this theory can be related to Hamiltonians that naturally arise in the so-called quantum finance.

연구 동기 및 목표

• 표준 운동량의 게이지 유사 변환으로 유도된 비헤르미트 운동량 연산자를 바탕으로 한 양자역학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 이 수정된 운동량 연산자를 사용하여 두 개의 허미트와 두 개의 비헤르미트 해밀토니안을 분류하고 구성하는 것.
• 새로운 해밀토니안들을 기반으로 이중 구조를 지닌 일반화된 초대칭 양자역학을 수립하여 초대칭 양자역학을 확장하는 것.
• 이 양자역학적 프레임워크에서 유도된 비헤르미트 해밀토니안들과 금융 양자역학의 핵심 해밀토니안들—특히 블랙-쇼스 모델—사이의 직접적인 대응 관계를 확립하는 것.

제안 방법

• 임의의 함수 $ f $ 를 사용하여 비헤르미트 운동량 연산자 $ P_{(f)j} = e^f P_j e^{-f} $ 를 정의함으로써, 허미트성을 깨는 게이지 변환된 운동량을 도출한다.
• 네 개의 해밀토니안을 구성한다: $ H_1 $ 과 $ H_2 $ 는 각각 $ \alpha^2 \vec{P}_{(f)}^\dagger \cdot \vec{P}_{(f)} $ 과 $ \alpha^2 \vec{P}_{(f)} \cdot \vec{P}_{(f)}^\dagger $ 로서 허미트 조합이며, $ H_3 $ 과 $ H_4 $ 는 각각 비헤르미트 형태인 $ \beta^2 \vec{P}_{(f)}^\dagger \cdot \vec{P}_{(f)}^\dagger $ 과 $ \beta^2 \vec{P}_{(f)} \cdot \vec{P}_{(f)} $ 로서 구성된다.
• 초전하 $ Q_1, Q_2 $ 와 $ Q_3, Q_4 $ 를 정의하여 $ Q^2 = 0 $ 이 되도록 하여 일반화된 초대칭 양자역학을 수립한다. 이를 통해 이중 구조를 지닌 초해밀토니안 $ H = \{Q_1, Q_2\} $ 이 도출된다.
• 해밀토니안 $ H_{II} = \beta^2 \vec{P}_{(f)}^\dagger \cdot \vec{P}_{(f)}^{\dagger} + V_2(x) $ 의 일차원 형태를 식별하고, $ \beta^2 = \sigma^2/2 $, $ f(x) = \frac{1}{\sigma^2}(\sigma^2/2 - r)x $, $ V_2(x) = r $ 라는 특정 매개변수의 대응 관계에서 블랙-쇼스 해밀토니안 $ H_{BS} $ 와 정확히 일치함을 보여준다.
• 일반화된 및 장벽 옵션 모델로의 확장을 위해 $ f(x) $ 와 $ V_2(x) $ 를 조정하여 각각 $ H_{BSG} $ 와 $ H_{BSB} $ 와 일치시키는 것으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비헤르미트 운동량 연산자가 물리적 일관성을 유지하면서도 허미트와 비헤르미트 해밀토니안을 모두 생성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 비헤르미트 프레임워크에서 일반화된 초대칭 양자역학은 어떻게 구성되며, 그 이중 구조는 무엇인가?
• RQ3 수정된 운동량 연산자에서 유도된 비헤르미트 해밀토니안들과 금융 양자역학의 블랙-쇼스 해밀토니안 사이의 정확한 수학적 대응 관계는 무엇인가?
• RQ4 일반화된 블랙-쇼스 및 장벽 옵션 해밀토니안들은 이 양자역학적 모델의 특수한 경우로 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 비헤르미트 운동량 연산자 $ P_{(f)j} = e^f P_j e^{-f} $ 는 동일한 기초 연산자 구조에서 유도된 두 개의 허미트 해밀토니안 $ H_1 $ 과 $ H_2 $, 그리고 두 개의 비헤르미트 해밀토니안 $ H_3 $ 과 $ H_4 $ 를 생성한다.
• 초전하 $ Q_1 $ 과 $ Q_2 $ 를 사용하여 $ Q^2 = 0 $ 과 $ \{Q_1, Q_2\} = H $ 를 만족하는 일반화된 초대칭 양자역학이 수립되었으며, $ Q_3 $ 과 $ Q_4 $ 를 통한 이중 표현이 가능하여 표준 초대칭보다 더 풍부한 대수적 구조를 보여준다.
• 비헤르미트 해밀토니안 $ H_{II} = \beta^2 \vec{P}_{(f)}^\dagger \cdot \vec{P}_{(f)}^{\dagger} + V_2(x) $ 는 $ \beta^2 = \sigma^2/2 $, $ f(x) = \frac{1}{\sigma^2}(\sigma^2/2 - r)x $, $ V_2(x) = r $ 일 때 정확히 블랙-쇼스 해밀토니안 $ H_{BS} $ 와 일치한다.
• 일반화된 블랙-쇼스 해밀토니안 $ H_{BSG} $ 는 $ f(x) $ 를 시간에 따라 변하는 드리프트 함수 $ V(x) $ 에 따라 허용함으로써 복원되며, $ f(x) = \int_0^x du \, \frac{1}{\sigma^2}(\sigma^2/2 - V(u)) $ 로서 표현되며, 이는 모델의 유연성을 보여준다.
• 장벽 옵션 해밀토니안 $ H_{BSB} $ 는 $ V_2(x) = V(x) $ 로 설정함으로써도 일치함을 확인하여, 이 프레임워크가 경로 의존 금융 파생상품에 적용 가능함을 입증한다.
• 해밀토니안의 기본 상태가 명시적으로 구해졌으며, 이 모델은 비헤르미트 연산자가 실수 스펙트럼을 지닐 수 있음을 보여주며, 특히 금융 응용 분야에서 물리적으로 의미 있는 양자 시스템을 제공함을 시사한다.