[논문 리뷰] The Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$-Laplacian

Sunra Mosconi, Kanishka Perera외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 42인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유계 영역에서 분수형 $p$-라플라시안 브레지스-니레버그 문제에 대한 비자명한 해의 존재성을 확립한다. 이는 $p \neq 2$일 때 분수형 소볼레프 부등식의 명시적 최소화자 부재 및 고전적 리킹 분해의 부재라는 두 가지 주요 과제를 극복함으로써 달성된다. 새로운 변분 접근법을 도입하여 코homological index 기반 리킹 정리와 최소화자의 점근적 추정을 활용하며, $N > sp^2$ 및 $λ$가 다양한 스펙트럼 영역에 있을 경우의 임계 지수 조건 하에서 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

We obtain nontrivial solutions to the Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$-Laplacian operator, extending some results in the literature for the fractional Laplacian. The quasilinear case presents two serious new difficulties. First an explicit formula for a minimizer in the fractional Sobolev inequality is not available when $p e 2$. We get around this difficulty by working with certain asymptotic estimates for minimizers recently obtained by Brasco, Mosconi and Squassina. The second difficulty is the lack of a direct sum decomposition suitable for applying the classical linking theorem. We use an abstract linking theorem based on the cohomological index proved by Perera and Yang to overcome this difficulty.

연구 동기 및 목표

• 고전적 브레지스-니레버그 결과를 $p \neq 2$인 분수형 라플라시안의 비선형적 $p$-라플라시안 경우로 확장한다.
• 변분 방법에서 주요 장애물인 $p \neq 2$일 때 분수형 소볼레프 부등식의 최소화자에 대한 명시적 공식 부재 문제를 다룬다.
• 비선형적 설정에서 고전적 리킹 정리에 필요한 직접 합분해가 존재하지 않는 문제를 극복한다.
• 다양한 기하학적 및 스펙트럼 조건에 따라 $N$, $s$, $p$, 및 $\lambda$에 대해 임계 분수형 $p$-라플라시안 문제의 비자명한 약한 해의 존재성을 확립한다.

제안 방법

• 최근 [4]에서 유도된 분수형 소볼레프 부등식의 최소화자에 대한 점근적 추정을 활용하여, 명시적 최소화자 공식이 필요 없도록 한다.
• 논문 [48]에서 유래한 코homological index 기반의 추상적 리킹 정리를 적용하여 비선형적 설정에서 직접 합분해가 존재하지 않는 문제를 우회한다.
• Gagliardo 반노름을 사용하는 공간 $W^{s,p}_0(\Omega)$ 내에서 변분 프레임워크를 활용하며, 적분 항등식을 통한 약한 해 정의를 사용한다.
• 절단 및 스케일링 추론을 통해 캐비넷 함수 $\eta_\delta$ 및 $\varphi_\delta$를 활용하여 에너지 추정에서 국소적 및 전역적 기여를 제어한다.
• 특히 경계 근처에서의 해에 대한 정밀한 정규성 추정 및 감쇠 경계를 활용한 선형화된 문제의 해에 대한 추정에 의존한다.
• 매개변수 $\delta$를 포함한 개선된 에너지 비교 추론을 통해 절단된 함수의 $L^p$-노름을 제어하고, 리킹 구성에서의 균일한 유계성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수형 $p$-라플라시안 브레지스-니레버그 문제에 대해 $p \neq 2$일 때, 분수형 소볼레프 부등식의 명시적 최소화자 부재에도 불구하고 비자명한 해를 확보할 수 있는가?
• RQ2 직접 합분해가 존재하지 않는 비선형적 설정에서 고전적 리킹 정리는 어떻게 수정될 수 있는가?
• RQ3 $N$, $s$, $p$, 및 $\lambda$에 대해 어떤 조건이 임계 분수형 $p$-라플라시안 방정식의 비자명한 약한 해의 존재를 보장하는가?
• RQ4 분수형 소볼레프 부등식의 최소화자에 대한 점근적 추정은 변분 설정에서 리킹 기하학의 구성에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 코homological index 기반 리킹 정리는 어떤 스펙트럼적 및 기하학적 조건에서 관련 에너지 함수의 비자명한 임계점을 도출하는가?

주요 결과

• 비자명한 약한 해가 존재한다. $N \geq sp^2$ 이고 $0 < \lambda < \lambda_1$일 때, $\lambda_1$은 첫 번째 고유값이다.
• $N > sp^2$ 이고 $\lambda > \lambda_1$가 고유값 $\lambda_k$가 아니면 해가 존재한다. 이는 반선형 케이스의 결과를 확장한다.
• $N^2/(N+s) > sp^2$ 이고 $\lambda = \lambda_k$가 고유값일 때, $\partial\Omega$의 적절한 정규성 조건 하에 해가 존재한다.
• $\partial\Omega \in C^{1,1}$ 이고 $(N^3 + s^3 p^3)/N(N+s) > sp^2$ 이면, 고유값 $\lambda = \lambda_k$에서 해가 존재하며, 이는 비선형적 케이스의 임계 임계값을 확인한다.
• 에너지 함수는 직접 합분해가 없더라도 코homological index를 통한 리킹 기하학을 만족하며, 추상적 리킹 정리의 적용이 가능하다.
• 절단된 에너지 함수에 대한 균일한 유계성 $\|v_\delta\|^p \leq 1 + C\delta^N$ 이 확립되며, 이는 $\delta \to 0$에서의 리킹 구성 제어에 핵심적이다.