[논문 리뷰] The Brouwer fixed point theorem and the Borsuk--Ulam theorem

Anthony Carbery|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 21.

Functional Equations Stability Results인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 스토크스 정리와 위상수학적 차수 이론을 사용하여 보르수크-울람 정리를 미분 위상수학적으로 증명한다. 이는 기존의 브라우어 고정점 정리에 대한 증명과 유사하다. 특정 미분형식의 적분이 랭크 결함으로 인해 한편에서는 0이 되지만, 반대편에서는 반대칭성으로 인해 0이 아니게 되어, 이를 통해 n-구면에서 (n−1)-구면으로의 스무스 등변 사상이 존재하지 않음을 보인다.

ABSTRACT

These informal notes, not intended for publication, provide an approach to the Borsuk--Ulam theorem via Stokes' theorem, in a similar spirit to Lima's proof of the Brouwer fixed point theorem. They are intended to be accessible to anyone with a knowledge of basic point-set topology and several variable calculus. Some of the argument relies upon previous ideas of Shchepin.

연구 동기 및 목표

• 브라우어 고정점 정리에 대한 알려진 증명과 유사한 미분위상수학적 증명을 통해 보르수크-울람 정리를 증명하는 것.
• n-구면에서 (n−1)-구면으로의 스무스 등변 사상이 존재하지 않음을 보여, 이를 통해 보르수크-울람 정리를 유도하는 것.
• 스토크스 정리와 특정 미분형식 적분의 0이 아닌 성질을 사용하여, 그러한 사상이 존재한다고 가정했을 때 모순을 이끌어내는 것.
• 차원 축소를 통해 사르드 정리와 등변성을 이용하여 일반적인 경우를 n=3의 경우로 환원하는 것.
• 실린더 모델과 경계 성분에서의 형식 적분 분석을 통해 차원 3에서 모순을 이용한 증명을 완성하는 것.

제안 방법

• 스무스 등변 사상 f: S^n → S^{n-1}의 존재를 가정하여, 모든 x에 대해 f(x) ≠ f(-x)임을 유도한다.
• g(x) = (f(x) - f(-x))/|f(x) - f(-x)|로 정의된 홀수 함수 g를 정의하여, S^n에서 S^{n-1}로 사상되며 g(-x) = -g(x)를 만족한다.
• 스토크스 정리를 사용하여 n-구의 내부에서의 자코비안 행렬식 det Dg의 적분을 경계 적분 ∫_{S^{n-1}} g₁ dg₂ ∧ … ∧ dgₙ로 연결한다.
• 경계 적분이 반대칭성과 등위에서의 맵의 랩핑 수로 인해 0이 아니라는 것을 보인다.
• 차원 축소를 사용: 만약 n ≥ 4일 때 그러한 사상이 존재한다면, S^{n-1}에서 S^{n-2}로의 스무스 등변 사상이 존재하게 된다.
• 실린더 모델 C = D² × [-1,1]을 사용하여 차원 3에서 모순을 완성하며, f₃와 df₁ ∧ df₂를 포함하는 경계 적분이 0이 될 수 없음을 보여, Df의 랭크 결함과 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라우어 고정점 정리에 대한 증명과 유사하게, 스토크스 정리와 미분형식을 사용하여 보르수크-울람 정리를 증명할 수 있는가?
• RQ2 등변 사상의 반대칭성을 반영하는 n-구의 경계에서의 특정 미분형식 적분이 0이 아닌가?
• RQ3 스무스 등변 사상 S^n → S^{n-1}의 존재가 미분형식의 적분을 통해 모순을 초래하는가?
• RQ4 스무스 근사와 차원 축소를 통해 보르수크-울람 정리를 고차원에서 n=3의 경우로 환원할 수 있는가?
• RQ5 2차원과 3차원에서 등변 사상의 부재를 증명할 때 랩핑 수 또는 순환 길이의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 반대칭성과 홀수 랩핑 수로 인해, 임의의 스무스 등변 사상 g: S^{n-1} → S^{n-1}에 대해 ∫_{S^{n-1}} g₁ dg₂ ∧ … ∧ dgₙ는 0이 아니며, 이는 0이 아니게 된다.
• n=2일 때, ∫_{S¹} g₁ dg₂는 π의 홀수 배이며, 이는 0이 아니며, 자코비안 행렬식의 0이 되는 것과 모순된다.
• 스무스 등변 사상 f: S^n → S^{n-1}의 존재를 가정하면, ∫_{D^n} det Df는 랭크 결함으로 인해 0이 되지만, 스토크스 정리를 통해 경계 적분은 0이 아니게 되어 모순이 발생한다.
• 차원 축소를 통해, n ≥ 4일 때 S^n에서 S^{n-1}로의 스무스 등변 사상이 존재한다면, S^{n-1}에서 S^{n-2}로의 사상도 존재하게 되며, 이를 통해 귀납적으로 문제를 축소할 수 있다.
• 차원 3에서 실린더 C = D² × [-1,1] 위에서 스무스 등변 사상 f: C → S²가 존재하면, 경계 적분 ∫_{D₊} f₃ df₁ ∧ df₂는 경계에서의 등변성으로 인해 0이 아니게 되어 모순된다.
• 최종 모순은 ∫_{D₊} df₁ ∧ df₂가 0이 아니며(π의 홀수 배), 그러나 Df가 최대 랭크가 아니면 같은 적분이 0이 되어야 하므로, 그러한 사상이 존재할 수 없음을 증명한다.