[논문 리뷰] The Brunn-Minkowski inequality and a Minkowski problem for $\mathcal{A}$-harmonic Green's function

Murat Akman, John L. Lewis외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 08.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 내의 볼록 컴acts 집합 $E \subset \mathbb{R}^n$ 의 외부에서 $Ç$-조화 Green 함수와 관련된 $\chi$-조화 용적 $Ç_{\mathcal{A}}(E)$ 에 대해 브룬-민코프스키 유형 부등식을 수립한다. 이는 볼록 집합의 민코프스키 합에 대해 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)^{1/(p-n)}$ ($p > n$) 및 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ ($p = n$) 의 볼록성(concavity)을 증명한다. 또한 $Ç$-조화 Green 함수로부터 유도된 측도에 대해 민코프스키 유형의 존재성 및 유일성 결과를 도출하며, 고전적 민코프스키 조건이 필요하고 충분하며, 해는 이동을 제외하고 유일하다는 것을 보인다.

ABSTRACT

In this article we study two classical problems in convex geometry associated to $\mathcal{A}$-harmonic PDEs, quasi-linear elliptic PDEs whose structure is modeled on the $p$-Laplace equation. Let $p$ be fixed with $2\leq n\leq p

연구 동기 및 목표

• 볼록 컴acts 집합 $E \subset \mathbb{R}^n$ 의 외부에서 무한대에 있는 극을 가진 $\mathcal{A}$-조화 Green 함수를 정의하고, 그 존재성과 유일성을 확립한다.
• 무한대에서 $\mathcal{A}$-조화 Green 함수의 점근적 행동을 캡처하는 용적 유사 양수 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ 를 도입한다.
• 민코프스키 합에 대해 볼록 집합의 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ 에 대한 브룬-민코프스키 유형 부등식을 증명하며, 정규성 조건 하에 등호가 성립할 경우 동형성(homothety)을 함의함을 보인다.
• $\mathcal{A}$-조화 Green 함수와 관련된 측도 $\mu_E$ 에 대해 민코프스키 유형 문제를 제시하고, 존재에 대한 필요 및 충분 조건을 밝힌다.
• 브룬-민코프스키 부등식과 변분 기법을 이용하여 민코프스키 문제의 해가 이동을 제외하고 유일함을 확립한다.

제안 방법

• $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ 를 $\mathbb{R}^n \setminus E$ 에서의 $\mathcal{A}$-조화 PDE 해로부터 유도된 무한대에서의 점근적 행동으로 정의한다.
• $\mathcal{A}$-조화 PDE의 맥락에서 변분 방법과 페론의 방법을 사용하여 $p \geq n$ 인 경우 $\mathcal{A}$-조화 Green 함수의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 하단드 공식과 비교 원리를 활용한 변분 접근을 통해 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ 에 대한 브룬-민코프스키 부등식을 수립한다.
• 하단드 변분 공식을 사용하여 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_t)$ 가 민코프스키 조합 $E_t = (1-t)E_0 + tE_1$ 에 대해 미분하는 것과 표면 측도 $\mu_E$ 를 연결한다.
• $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)^{1/(p-n)}$ ($p > n$) 또는 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ ($p = n$) 의 볼록성(concavity)을 이용하여 민코프스키 문제의 해가 이동을 제외하고 유일함을 증명한다.
• 위어니트 분해와 리프시츠 도메인에서의 경계 추정을 사용하여 $E$ 의 경계 근처에서 $\mathcal{A}$-조화 함수의 성장률을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한대에서의 $\mathcal{A}$-조화 Green 함수와 관련된 용적 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ 는 볼록 집합의 민코프스키 합에 대해 브룬-민코프스키 유형 부등식을 만족하는가?
• RQ2 브룬-민코프스키 부등식에서 등호가 성립할 조건은 무엇이며, 이는 어떤 경우에 집합들이 동형성(homothetic)임을 함의하는가?
• RQ3 $\mathcal{A}$-조화 Green 함수로부터 유도된 측도 $\mu_E$ 에 대해 민코프스키 유형 문제를 제시할 수 있으며, 존재에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 민코프스키 문제의 해는 이동을 제외하고 유일한가? 이는 어떻게 브룬-민코프스키 부등식으로부터 유도되는가?
• RQ5 $\mathcal{A}$-조화 함수의 변분적 성질과 점근적 성질이 외부 영역에서 고전적 기하 부등식과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 $n < p < \infty$ 에 대해, 양수 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)^{1/(p-n)}$ 는 브룬-민코프스키 부등식을 만족한다: $\left[\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(\lambda E_1 + (1-\lambda)E_2)\right]^{1/(p-n)} \geq \lambda \left[\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_1)\right]^{1/(p-n)} + (1-\lambda)\left[\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_2)\right]^{1/(p-n)}$ for $\lambda \in [0,1]$.
• 모든 $p = n$ 에 대해, 함수 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ 는 민코프스키 합에 대해 자체적으로 볼록성(concavity)을 가진다: $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(\lambda E_1 + (1-\lambda)E_2) \geq \lambda \mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_1) + (1-\lambda)\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E_2)$.
• 어느 한 브룬-민코프스키 부등식에서도 등호가 성립할 경우, $\mathcal{A}$ 의 구조 및 정규성 조건이 만족될 경우 $E_1$ 과 $E_2$ 는 동형성(homothetic)임을 함의한다.
• $\mu_E$ 에 대한 민코프스키 문제의 해가 존재하기 위한 필요 및 충분 조건은 고전적 민코프스키 조건을 만족하는 것이다: $\mu(\mathbb{S}^{n-1}) > 0$ 이고 $\int_{\mathbb{S}^{n-1}} \xi \, d\mu(\xi) = 0$ 이다.
• 민코프스키 문제의 해는 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)^{1/(p-n)}$ 의 볼록성과 $t=0$ 에서의 일阶 미분의 소멸성에 의해 이동을 제외하고 유일하다.
• 모든 $p = n$ 에 대해, 유일성의 추론은 $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}(E)$ 가 진정한 확대(honest dilations)에 대해 불변이므로, 부등식의 등호 조건이 $E_0$ 와 $E_1$ 이 서로를 이동으로써 대체할 수 있음을 강제한다.